Метод аналитической аппроксимации
Данный метод основан на аппроксимации характеристик нелинейных элементов аналитическими выражениями с последующим аналитическим решением системы нелинейных уравнений состояния цепи. Точность, а с другой стороны, сложность расчета методом аналитической аппроксимации непосредственно зависят от вида принятой аналитической функции, аппроксимирующей характеристику нелинейного элемента. Поэтому ее выбор является важнейшим этапом при анализе цепи данным методом. Как уже отмечалось, для получения большей точности расчета необходимо выбирать аппроксимирующую функцию, наиболее полно соответствующую исходной нелинейной характеристике, что, однако, может привести в общем случае к появлению в уравнениях состояния сложных математических выражений, часто трудно разрешимых (или вообще неразрешимых) аналитически. С другой стороны, принятие чрезмерно простой функции для аппроксимации позволяет достаточно быстро получить результат, однако погрешность расчета может оказаться недопустимо высокой. Таким образом, выбор аппроксимирующей функции во многом зависит от поставленной задачи расчета и требуемой точности его результатов. Пусть, например, в цепи состоящей из последовательно соединенных источника тока с
требуется найти напряжение на индуктивном элементе. На первом этапе определяем коэффициенты После этого подставляем в (3) выражение
или, с учетом соотношения
Тогда искомое напряжение на катушке индуктивности
Литература
Контрольные вопросы и задачи
| |||
| Лекция N 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации. |
и нелинейной катушки индуктивности, заданная графически вебер-амперная характеристика которой может быть аппроксимирована выражением
,
и 
аппроксимирующей функции с учетом того, что рабочий участок заданной графически кривой 
ограничен сверху амплитудой А тока в цепи, что сразу дает одну из двух точек аппроксимации.
, в результате чего получаем
.
.
построить зависимость 
, обеспечивающую скачок тока с увеличением напряжения при заданной величине 
последнего. При решении принять 
. 
тока.
В соответствии с определением данного метода, расчет нелинейной цепи с его использованием включает в себя в общем случае следующие основные этапы:
1. Исходная характеристика нелинейного элемента заменяется ломаной линией с конечным числом прямолинейных отрезков.
2. Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные линейные параметры нелинейного элемента и рисуются соответствующие линейные схемы замещения исходной цепи.
3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности.
 4. На основании граничных условий определяются временные интервалы движения изображающей точки по каждому прямолинейному участку (границы существования отдельных решений).
Пусть вольт-амперная харак-теристика (ВАХ) нелинейного резистора имеет форму, представленную на рис. 1. Заменяя ее ломаной линией 4-3-0-1-2-5, получаем приведенные в табл. 1 расчетные эквивалентные схемы замещения и соответ-ствующие им линейные соотношения.
Расчет каждой из полученных линейных схем замещения при наличии в цепи одного нелинейного элемента и произвольного числа
линейных не представляет труда. В этом случае на основании теоремы об активном двухполюснике исходная нелинейная цепь сначала сводится к схеме, содержащей эквивалентный генератор с некоторым линейным внутренним сопротивлением и последовательно с ним включенный нелинейный элемент, после чего производится ее расчет. При наличии в цепи переменного источника энергии рабочая (изображающая) точка будет постоянно скользить по аппроксимирующей характеристике, переходя через точки излома. Переход через такие точки соответствует мгновенному изменению схемы замещения. Поэтому задача определения искомой переменной сводится не только к расчету схем замещения, но и к определению моментов “переключения” между ними, т.е. нахождению граничных условий по времени. Анализ существенно усложняется, если в цепи имеется несколько нелинейных элементов. Главная трудность в этом случае связана с тем, что заранее не известно сочетание линейных участков, соответствующее заданному входному напряжению (току). Искомое сочетание линейных участков всех нелинейных элементов определяется перебором их возможных сочетаний. Для любого принятого сочетания параметры схемы известны, и, следовательно, могут быть определены напряжения и токи для всех элементов. Если они лежат в пределах соответствующих линейных участков, то принятое сочетание дает верный результат. Если хотя бы у одного нелинейного элемента переменные выходят за границы рассматриваемого линейного участка, то следует перейти
Таблица 1. Кусочно-линейная аппроксимация ВАХ нелинейного резистора
к другому сочетанию. Необходимо отметить, что всегда имеется единственное сочетание линейных участков характеристик нелинейных элементов, соответствующее изменению входного сигнала в некоторых пределах.
В качестве примера определим напряжение Решение 1. В соответствии с заданной ВАХ нелинейный резистор на участке 1-2 заменяем линейным резистором с сопротивлением
на участке 2-3-источником тока с током 2. На основании данной эквивалентной замены для тока на участке 1-2 ВАХ можно записать:
откуда
При движении изображающей точки по участку 2-3 ВАХ имеем
при движении по участку 1-4 ВАХ-
3. Определяем интервалы движения изображающей точки по отдельным участкам ВАХ. Для точки излома 1 на основании (1) справедливо уравнение
или
Отсюда получаем два значения мгновенной фазы питающего напряжения на одном периоде, соответствующих точке 1: Аналогично записываем для точки 2 излома ВАХ
или
откуда Таким образом, получаем для одного периода питающего напряжения
В соответствии с периодичностью синусоидальной функции данные решения повторяются через 360°n. На рис. 4 представлен график зависимости искомой величины.
|
в цепи на рис. 2, в которой 
. ВАХ нелинейного резистора приведена на рис. 3, где 
.
,
и на участке 4-1-источником тока с током 
.
,
.
.
. Первое значение определяет переход изображающей точки с участка 4-1 на участок 1-2, второе – с участка 2-1 на участок 1-4.
(значение, соответствующее переходу с участка 1-2 на участок 2-3) и 
(значение, соответствующее переходу с участка 3-2 на участок 2-1).
;
;
;
;
