ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА В ДЛЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ.

Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля введем циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора В по заданному замкнутому контуру называется интеграл

.

где dl - вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, B_l = B cosa - составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), a - угол между векторами В и d l.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В): циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m_о на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром: ,

где п - число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным. Для системы токов, изображенных на рис. 173,

.

Выражение справедливо только для поля в вакууме, поскольку, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на примере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам (рис. 174). Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков но модулю и направлен по касательной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектора В равна

.

Согласно теореме, получим В ^.2p r= m_о I (в вакууме), откуда B=m_o I /(2pr).

Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора В получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше.

Сравнивая выражения для циркуляции векторов Е и В,видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био-Савара-Лапласа.

Магнитное поле соленоида и тороида.

Рассчитаем, применяя теорему о циркуля­ции, индукцию магнитного поля внутри соленоида. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий N витков, по которому течет ток (рис.175). Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т.е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида (см.рис.162, б) показывает, что внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида - неоднородным и очень слабым.

На рис.175 представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции B выберем замкнутый прямоугольный контур ABCDA, как показано на рис.175. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все N витков, равна

.

Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, BС, CD и DA. На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и B_l= 0. На участке вне соленоида В =0. На участке DA циркуляция вектора В равна В1 (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,

.

Приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме): . Получили, что поле внутри соленоида однородно.

Магнитное поле тороида - кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис.176). Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует. Линии магнитной индукции в данном случае, как следует из соображений симметрии, есть окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r. Тогда, по теореме о циркуляции, , откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме)

,

где N - число витков тороида.

Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и B ^.2π r =0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует (что показывает и опыт).