Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету магнитного поля.

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалосьфранцузскими учеными Ж.Био и Ф.Саваром. Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П.Лапласом. Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке А (рис.164) индукцию поля d B, записывается в виде

где d l - вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r - радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, r - модуль радиуса-вектора r. Направление d B перпендикулярно d l и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление d B, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора d B определяетсявыражением

где α - угол между векторами d l и r.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

.

1. Магнитное поле прямого тока - тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис.165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы d B от всех элементов тока имеют одина­ковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов d B можно заменить сложением их модулей. В качестве по­стоянной интегрирования выберем угол α (угол между векторами d l и r), выразив через него все остальные величины. Из рис.165 следует, что

(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения, получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна

.

Так как угол α для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до π, то, .

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

.

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис.166). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления - вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов d B можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиус-вектору (sinα=l) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, .

Тогда .

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током .