Дифференцируемость сложной функции
Пусть функция Тогда функция
Доказательство. Было введено
Тогда
б.м. Заметим, что
б.м. Таким образом,
б.м.в. Примеры: 1)
2)
3)
Самостоятельно написать формулы для нахождения частных производных 4) 5) 6) Дифференциал Пусть дана дифференцируемая функция
Опр. Дифференциалом функции 2х переменных называется главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргументов
х, у независимые переменные, тогда Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала I. Пусть II. Пусть
Отсюда следует, что форма дифференциала не изменилась. Правила отыскания дифференциала 1)
2)
3)
|
дифференцируема по переменным х и у, а функции 
и 
- дифференцируемы по переменным u,v.
дифференцируема по u и v, причем
; 
, 
(это следует из дифференцируемости функции 
(по условию 
и 
- дифференцируемы).
.
, где 
- ограничено (т.к. 
) и 
. Поэтому первый квадрат под знаком корня ограничен. По той же причине ограничен и второй квадрат. Тогда 
, где 
- ограниченная величина. Поэтому 
, где 
при 
.
ч.т.д.
, где 
, где 
; 
; 
;
; 
;
; 
.
. Найти 
. (Если 
подставим в данную функцию, тогда 
).
, 
, где 
, 
, где 
, 
, 
.
гл. часть
или 
.
, 
.
.
; 
; 
; 
