Максимум и минимум функции нескольких переменных

Пусть функция определена в некоторой области .

Опр. Точка , являющаяся внутренней точкой области определения функции , называется точкой максимума, если существует такое положительное число , что для всех точек выполняется неравенство .

Определение минимума дать самостоятельно.

Необходимое условие экстремума функции

Теорема Если точка является точкой ext дифференцируемой в этой точке функции , то и .

Опр. Точка, в которой частные производные равны 0, называется стационарной точкой функции.

Стационарные точки являются подозрительными на ext.

Геометрическая интерпретация необходимого условия ext

Пусть дана дифференцируемая функция , точка принадлежит области дифференцирования. Из условия, что следует, что

и

Проведем касательную плоскость к поверхности в т. .

Ее уравнение 0 0

 

Значит уравнение касательной плоскости - это горизонтальная плоскость (параллельна плоскости ХОУ).

В точке ext касательная плоскость горизонтальна.

min

 

Теорема (достаточное условие ext функции 2^х переменных) Пусть функция является дважды дифференцируемой в стационарной точке . Тогда если

I. Определитель , то стационарная точка является точкой ext, а именно: а) точкой max, если и б) точкой min, если .

II. Если , то стационарная точка не является точкой ext.

III. В случае ничего определенного сказать нельзя.

Замечание:

Пример.

Найти ext функции

I шаг

;

II шаг или

или или - стационарные точки.

III шаг ; ;

;

ext нет

ext нет

ext нет

, ext есть. точка max ,

а .

Правило отыскания ext функции