I. Метод обратной матрицы.

и матрицу D= (A|C) называют соответствующими;

задает n систем линейных уравнений A Y_i = C_i, i = 1, 2, …, n, с единой матрицей коэффициентов А;

задает (n + 1) матричных уравнений A Y_i = C_i, i = 1, 2, …, n +1;

имеет расширенную матрицу (A|C) размера n ×2 n;

имеет расширенную матрицу (С|А) размера n ×2 n.

4. Строку расширенной матрицы (A|C), составленной для матричного уравнения AY = C, где A, Y, C – квадратные матрицы порядка n, будем называть противоречивой, если

она состоит из одних нулей;

первые ее n элементов – нули, а остальные отличны от нуля;

первые ее n элементов отличны от нуля, а остальные – нули;

первые ее n элементов – нули, а среди остальных элементов найдется хотя бы один ненулевой;

в ней нет нулевых элементов.

5. Если расширенная матрица уравнения AY = C, где A, Y, C – квадратные матрицы порядка n, содержит противоречивую строку, то можно утверждать, что матричное уравнение

имеет хотя бы одно решение;

имеет, по крайней мере, одно решение;

не имеет решений;

имеет единственное решение;

имеет бесконечно много решений.

6. Дано матричное уравнение AY = C с квадратными матрицами A, Y, C порядка n. Отметьте верные высказывания:

если матрица А невырожденная, то уравнение AY = C можно решить методом Гаусса;

если А – невырожденная матрица, то уравнение не имеет решений;

если А – вырожденная, а С – невырожденная матрица, то уравнение не имеет решений;

если А – невырожденная, а С – вырожденная матрица, то уравнение имеет бесконечно много решений;

уравнение имеет единственное решение, если и только если матрица А – невырожденная.

7. Для матричного уравнения AY = C с квадратными матрицами A, Y, C одного и того же порядка укажите верные утверждения, описывающие взаимосвязь количества решений уравнения и свойств матриц А и С:

уравнение имеет единственное решение, если матрицы А и С невырожденные;

уравнение не имеет решений, если матрица А – вырожденная, а матрица С – невырожденная;

уравнение не имеет решений, если матрица А – невырожденная, а матрица С – вырожденная;

если решение уравнения единственно, то матрица А – вырожденная;

если обе матрицы А и С – вырожденные, то уравнение может либо не иметь решений, либо иметь решение в зависимости от вида этих матриц.

8. Пусть A – квадратная матрица порядка n, Е – единичная матрица того же порядка. Матрицей, обратной для матрицы А, называется решение Y матричного уравнения:

А+Y = E;

А∙Y = E;

Y·A = E;

А+E = Y;

А–Y = E.

9. Укажите матрицы, для которых обратные матрицы либо не существуют, либо вообще не определяются:

вырожденные матрицы;

невырожденные матрицы;

квадратные матрицы, все элементы которых нулевые;

прямоугольные матрицы размера m × n, где m ≠ n;

матрицы, содержащие строку (столбец), состоящую из одних нулей.

10. Укажите верные высказывания:

если матрица невырождена, то она имеет обратную;

если матрица вырождена, то, в зависимости от ее вида, она может либо иметь, либо не иметь обратную матрицу;

любая вырожденная матрица имеет обратную матрицу;

матрица, имеющая обратную, невырожденная;

матрица, имеющая обратную, является вырожденной.

11. Если А ^–1 – матрица, обратная для матрицы А, то справедливы следующие высказывания:

обратной для матрицы А ^–1 является матрица А;

матрицы А и А ^–1 являются взаимно обратными;

А · А ^–1 = Е;

А ^–1· А = Е;

(А ^–1)^–1 = А.

12. Среди следующих квадратных матриц укажите такую, которая обратна самой себе:

;

;

;

;

.

13. Среди следующих матриц укажите обратную матрицу для матрицы :

;

;

;

;

.

14. Среди следующих матриц укажите обратную (если она существует) для матрицы :

;

;

;

такой матрицы не существует;

.

15. Если A, В, Е – квадратные матрицы, для которых выполняется равенство A · В = Е, то отсюда следует, что

А – невырожденная матрица;

В – невырожденная матрица;

А – обратная для В матрица;

В – обратная для А матрица;

выполняется равенство В · А = A · В.

16. Пусть A, Y, C – квадратные матрицы порядка n, причем А – невырожденная матрица. Тогда относительного матричного уравнения AY = C можно утверждать, что

оно не имеет решения;

оно имеет единственное решение;

решением уравнения является матрица А ^–1 С;

для решения уравнения можно использовать метод Гаусса;

уравнение имеет более одного решения.

17. Если А – произвольная невырожденная матрица, то можно утверждать, что

для нее существует обратная матрица А ^–1;

для матрицы А^Т существует обратная матрица (А ^{– Т} )^–1;

А ^–1 = (А^Т)^–1;

(А ^–1) ^Т = А;

(А ^–1) ^Т = (А^Т)^–1.

18. Пусть А, В – произвольные невырожденные матрицы одинакового порядка. Укажите верные утверждения:

в зависимости от вида матриц А и В их произведение А·В может быть как вырожденной матрицей, так и невырожденной;

для матрицы В·А существует обратная;

для матрицы А·В существует обратная матрица;

(А·В)^–1 = А ^–1· В ^–1;

(А·В)^–1 = В ^–1· А ^–1.

19. Если А – произвольная невырожденная матрица, то справедливы следующие высказывания:

А^Т – невырожденная матрица;

А^Т может быть как вырожденной, так и невырожденной в зависимости от вида матрицы А;

для матрицы А А^Т существует обратная матрица;

матрицы А и А^Т имеют одну и ту же обратную матрицу;

(А А^Т)^–1 = А ^–1 (А ^–1) ^Т.

20. Пусть A, Y, C – квадратные матрицы одного и того же порядка. В каком из следующих случаев матричное уравнение AY = C может иметь бесконечно много решений:

А – невырожденная матрица;

А и С – невырожденные матрицы;

А – вырожденная, а С – невырожденная матрица;

А и С – вырожденные матрицы;

С – вырожденная, А – невырожденная матрица.