Интегрирование методом замены переменного или методом постановки.

 

 

Первообразный и неопределенный интеграл.

Основная задача деформационного исчисления нахождение производных ф-ии. Обратная задача по известной производной некоторой ф-ии найти саму эту ф-ию. В этом заключается главная задача интегрального исчисления.

Опр.: Ф-ия F(х) наз. первообразной для ф-ии f(x) на некотором промежутке х, если для всех значений х из множества х выполняется равенство F`(х)=f(х)

Например: Дана ф-ция f`(х)=х4 первообразной является ф-ция F(х)=х5/5т.к. х5/5 производная =

(5х4/5)`=х4, по (х5/5+с)`=x4

Теорема. Если F(х) какая- либо первообразная для ф-ции f(x) на [a,b] тогда ф-ция F(х)+с, где с некоторое постоянное так же будет явл. первообразной для ф-ции f(х)

Опр.: Совокупность всех первообразных для данной ф-ции f(x) – неопределенным интегралом от ф-ции f(x) и обозначается ∫f(x)dx

Например:∫ x3dx=x4/4+c т.к. (х4/4+с)`=x3

∫dx/cos2x=tgx+c т.к. (tgx+x)`=1/cos2x

Опр.: Восстановление ф-ции по ее производной, наз. интегрированием.

Таблица интегралов

Основные св-ва неопределенного интеграла.

1.

2.

3.

4. ∫ af(x)dx=a∫f(x)dx

5. ∫ (f(x) ± β (x) dx = ∫f(x)dx ±∫ β (x)dx

Интегрирование методом замены переменного или методом постановки.

Пусть требуется найти ∫f(x)dx, сделаем замену переменой под интегральным выражением положив х = ϕ(t), где ϕ(t) – непрерывная ф-ия с непрерывной производной, имеющая обратную функцию тогда dx =ϕ`(t)dt

Можно доказать, что имеет место рав-во:

∫ f(x) dx = ∫f[бета(t)] бета`(t) dt

ф-цию х= ϕ(t) следует выбрать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл стоящий в правой части рав-ва при интегрирование иногда целесообразнее подбирать замену переменного не в виде x=ϕ(t), а в виде t ψ (x)

1. интеграл dx/корень из а2-х2= │х=asin z x/a=sinz z=arcsinx/a dx=arcoszdz│

(корень из а2-х2=а2=а2sin3z=а корень из1-sin2z=a cosz) =интеграл acoszdz/acosz=интегралdz=z=c=arcsinx/a+c

2.. ∫ (lnx)3*dx/x=│ dt=(lnx)2 dx=dx/x t=lnx │=. ∫t3dt=t4/4+c=ln4x/4+c