Краткая теория. Обчисліть потрійний інтеграл

Обчисліть потрійний інтеграл . Підінтегральна функція та поверхні, що обмежують область V, вказані в таблиці 1.

 

Таблиця 1.

№		Область V
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.
		.

 

3.1. Обчисліть криволінійні інтеграли першого роду.

3.1.1. , якщо – дуга кривої , , , .

3.1.2. , якщо – чверть кола , , .

3.1.3. , де – дуга кривої , , , .

3.1.4. , якщо – дуга кривої , , , .

3.1.5. , якщо – дуга кривої , , , .

3.1.6. , якщо – дуга кривої , , , .

3.1.7. , якщо – дуга кривої .

3.1.8. , де – відрізок прямої між точками і .

3.1.9. , де – дуга кривої , , , .

3.1.10. , де – дуга параболи , яка міститься всередині параболи .

3.1.11. , якщо – дуга кривої .

3.1.12. , якщо – дуга кривої , , , .

3.1.13. , якщо – дуга кривої .

3.1.14. , якщо – дуга кривої .

3.1.15. , якщо – дуга кривої від точки до точки .

3.1.16. , якщо – дуга кривої , , .

3.1.17. , якщо – дуга кривої .

3.1.18. , якщо – дуга кола , , .

3.1.19. , якщо – дуга кривої .

3.1.20. , якщо – дуга кривої .

3.1.21. , якщо – дуга кривої , , .

3.1.22. , якщо – дуга кривої , , .

3.1.23. Обчисліть , де – відрізок, що сполучає точки і .

3.1.24. , якщо – дуга кривої .

3.1.25. , якщо – дуга кривої .

3.1.26. , якщо – дуга астроїди , , .

3.1.27. , якщо – дуга кривої , , , .

3.1.28. , якщо – дуга кривої , , , .

3.1.29. , якщо – дуга астроїди , , .

3.1.30. , якщо – дуга кола , , .

 

3.2. Обчисліть криволінійні інтеграли другого роду (інтегрування проведіть у додатному напрямку).

3.2.1. , якщо – дуга кривої , розміщеної під віссю .

3.2.2. , якщо – дуга кривої , , .

3.2.3. , якщо – дуга кривої , , , .

3.2.4. , якщо – дуга кривої , , .

3.2.5. , якщо – дуга кривої , .

3.2.6. , якщо – дуга параболи , .

3.2.7. , якщо – чверть кола , , , що пробігається проти годинникової стрілки.

3.2.8. , де – дуга кубічної параболи , .

3.2.9. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і .

3.2.10. , якщо – дуга параболи , .

3.2.11. , якщо – дуга кривої , , .

3.2.12. , якщо – дуга кривої , .

3.2.13. , якщо – дуга параболи , .

3.2.14. , якщо – дуга кривої , .

3.2.15. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і .

3.2.16. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і .

3.2.17. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і .

3.2.18. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і .

3.2.19. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і .

 

3.2.20. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і .

3.2.21. , якщо – відрізок прямої, що сполучає точки і .

3.2.22. якщо – дуга параболи , розміщеної над віссю .

3.2.23. , якщо АВ – відрізок прямої, що сполучає точки і .

3.2.24. , якщо – дуга кривої , .

3.2.25. , якщо – дуга параболи , .

3.2.26. , якщо – дуга кривої , .

3.2.27. , якщо АВ – відрізок прямої, що сполучає точки і .

3.2.28. , якщо АВ – відрізок прямої, що сполучає точки і .

3.2.29. , якщо – дуга параболи ,

3.2.30. , якщо АВ – відрізок прямої, що сполучає точки і .

3.3. Обчисліть криволінійний інтеграл по замкненому контуру L, використовуючи формулу Гріна. Обхід контура відбувається проти годинникової стрілки.

3.3.1. , якщо – контур трикутника з вершинами , , .

3.3.2. , якщо – контур прямокутника , .

3.3.3. , якщо – контур, обмежений параболою і прямою .

3.3.4. , якщо – контур прямокутника ,

3.3.5. , якщо – контур, обмежений параболами і .

3.3.6. , якщо – контур прямокутника ,

3.3.7. , якщо – контур, обмежений параболою і прямою .

3.3.8. , де – контур трикутника з вершинами , , .

3.3.9. , де – контур обмежений параболою і прямою .

3.3.10. , якщо – контур прямокутника , .

3.3.11. , якщо – контур трикутника з вершинами , , .

3.3.12. , якщо – коло

3.3.13. , якщо – контур, обмежений параболою і прямою .

3.3.14. , якщо – контур прямокутника , .

3.3.15. , якщо – контур трикутника з вершинами , , .

3.3.16. , якщо – контур, утворений параболами та .

3.3.17. , якщо – коло .

3.3.18. , якщо – контур, утворений параболою та прямою .

3.3.19. , якщо – контур прямокутника , .

3.3.20. , якщо – контур прямокутника , .

3.3.21. , якщо – контур трикутника з вершинами , , .

3.3.22. , якщо – контур прямокутника , .

3.3.23. , якщо – контур, утворений параболою та прямою .

3.3.24. , якщо – коло .

3.3.25. , якщо – контур трикутника з вершинами , , .

3.3.26. , якщо – контур трикутника з вершинами , , .

3.3.27. , якщо – контур, обмежений параболами та .

3.3.28. , якщо – контур прямокутника , .

3.3.29. , якщо – коло .

3.3.30. , якщо – контур трикутника з вершинами , , .

3.4. Перевірте, що криволінійний інтеграл не залежить від форми шляху інтегрування та обчисліть його.

3.4.1. .

3.4.2. .

3.4.3. .

3.4.4. .

3.4.5. .

3.4.6. .

3.4.7. .

3.4.8. .

3.4.9. .

3.4.10. .

3.4.11. .

3.4.12. .

3.4.13. .

3.4.14. .

3.4.15. .

3.4.16. .

3.4.17. .

3.4.18. .

3.4.19. .

3.4.20. .

3.4.21. .

3.4.22. .

3.4.23. .

3.4.24. .

3.4.25. .

3.4.26. .

3.4.27. .

3.4.28. .

3.4.29. .

3.4.30. .

 

5.1. Обчисліть потік вектора через зовнішню поверхню піраміди, що обмежена координатними площинами та похилою площиною , користуючись формулою Остроградського – Гаусса.

 

№		Рівняння площини
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
5.1.5
5.1.6
5.1.7
5.1.8
5.1.9
5.1.10
5.1.11
5.1.12
5.1.13
5.1.14
5.1.15
5.1.16
5.1.17
5.1.18
5.1.19
5.1.20
5.1.21
5.1.22
5.1.23
5.1.24
5.1.25
5.1.26
5.1.27
5.1.28
5.1.29
5.1.30

 

5.2. Обчисліть циркуляцію векторного поля вздовж лінії перетину площини з координатними площинами, використовуючи безпосереднє обчислення та формулу Стокса (напрям руху вздовж кривої відбувається проти годинникової стрілки, якщо дивитися з початку координат).

5.2.1.

5.2.2.

5.2.3.

5.2.4.

5.2.5.

5.2.6.

5.2.7.

5.2.8.

5.2.9.

5.2.10.

5.2.11.

5.2.12.

5.2.13.

5.2.14.

5.2.15.

 

Обчисліть циркуляцію векторного поля вздовж замкненої лінії L двома способами (безпосередньо та за формулою Стокса).

 

5.2.16. .

5.2.17. .

5.2.18.

5.2.19. .

5.2.20. .

5.2.21.

5.2.22. .

5.2.23. .

5.2.24.

5.2.25. .

5.2.26.

5.2.27.

5.2.28.

5.2.29.