Магнитная сила как релятивистское следствие закона Кулона

Подробно разберем следующую несложную задачу.

Вдоль прямолинейного тока I на расстоянии b от него движется со скоростью V точечный заряд q (рис. 14.1.). Какая сила действует на этот заряд?

Рис. 14.1.

Вначале рассмотрим эту задачу в лабораторной системе отсчета. Проводник с током не несет избыточных зарядов, следовательно, на заряд q действует только магнитная сила Лоренца (см. 9.11):

. (14.1)

Здесь — вектор магнитной индукции поля прямолинейного тока I.

Hа расстоянии b от проводника индукция такого поля равна (см. 8.7):

В = . (14.2)

Здесь мы воспользовались тем, что , а

Понятно, что — скорость света в вакууме.

Таким образом, мы установили, что на движущийся заряд будет действовать сила, направленная к проводнику с током. Модуль этой силы равен

. (14.3)

Теперь рассмотрим эту же задачу, но в штрихованной системе отсчета, движущейся вместе с зарядом q со скоростью v (рис. 14.2.).

Рис. 14.2.

В этой системе отсчета заряд неподвижен и поэтому магнитная сила отсутствует.

В лабораторной системе отсчета, как уже отмечалось, проводник не имеет избыточного заряда. Это означает, что линейные плотности положительных и отрицательных зарядов в проводнике одинаковы по величине

В движущейся системе отсчета расстояния между положительными ионами уменьшатся вследствие лоренцева сокращения, поэтому линейная плотность положительных зарядов возрастет и станет равной

(14.4)

Увеличится и линейная плотность отрицательных зарядов — электронов. При этом необходимо учесть, что в проводнике с током отрицательные заряды участвуют в направленном движении со скоростью v_н. Это скорость их движения в неподвижной лабораторной системе отсчета. В движущейся системе отсчета скорость электронов будет выше скорости положительных ионов, поэтому увеличение плотности отрицательных зарядов будет больше, чем положительных.

. (14.5)

Еще раз напомним, что электроны имеют скорость направленного движения v_н и в лабораторной системе отсчета, поэтому в этой системе линейная плотность отрицательного заряда равна

.

Отсюда найдем линейную плотность отрицательного заряда в проводнике при отсутствии тока

. (14.6)

Используя этот результат в (14.5), получим

.

Ведя следующие обозначения

, и ,

перепишем последнее уравнение в таком виде:

.

Воспользуемся теперь релятивистским правилом сложения скоростей:

, (14.7)

или

Теперь линейную плотность отрицательных зарядов проводника в движущейся системе отсчета можно представить так:

И, наконец, в окончательном виде:

(14.8)

Теперь подсчитаем линейную плотность заряда на проводнике в движущейся системе отсчета. (Это та величина, которая в лабораторной системе равнялась нулю: l = l₊ + l_– = 0).

Но поэтому

Здесь и , значит

. (14.9)

Заметим, что плотность отрицательного электрического заряда связана с силой электрического тока I. Действительно,

I = j S = – e v_н n _е S = – .

Здесь j = — плотность тока,

en_еS = — линейная плотность отрицательного заряда на проводнике.

Отсюда следует, что

Таким образом, линейная плотность заряда на проводнике в движущейся системе отсчета отлична от нуля и равна (см. 14.9)

.

Проводник с такой плотностью заряда создает электростатическое поле, напряженность которого на расстоянии b от проводника равна (см. 2.13)

.

В таком электрическом поле на неподвижный заряд будет действовать сила

. (14.10)

Согласно теории относительности, для наблюдателя в неподвижной системе отсчета эта сила будет равна

. (14.11)

Эта электрическая сила совпадает с той магнитной силой, которая была получена нами ранее (см. 14.3). Таким образом, к «магнитной» силе можно прийти, воспользовавшись только законом Кулона и известными положениями теории относительности.

Подвод итог, модно сделать вывод, что F и F ’ — одна и та же сила, только в лабораторной системе отсчета она «магнитная», а в системе отсчета, в которой заряд q неподвижен, — она «электрическая».

Можно, конечно, создать и такую систему отсчета, в которой одновременно будут присутствовать обе эти составляющие

.