Решения систем линейных уравнений методом Гаусса

Пример 1

 

Следовательно, система имеет единственное решение.

Найдем решение системы:

 

 

Следовательно, система имеет бесконечное множество решений, каждое из которых может быть найдено по формулам:

 

,

 

Пример 2

где численные значения z задаются произвольно.

Пример 3

 

Следовательно, система несовместна.

Векторная алгебра

Основные понятия

Вектором будем называть направленный отрезок , в котором - начало, а - конец вектора; - длина вектора.

, .

Векторы, параллельные одной прямой или лежащие на этой прямой, называются коллинеарными.

Два вектора и называются равными, если они имеют одно и то же направление, и .

Векторы , называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Произведением вектора на число называется вектор, длина которого равна , коллинеарный вектору , совпадающий с ним по направлению, если > 0, и противоположно направленный, если < 0.

Проекцией вектора на ось называется разность между координатами проекций конца и начала вектора на ось , которая обозначается пр _l (рис. 1).

 

Рис. 1

 

0

 

Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженной на косинус угла между положительным направлением оси и вектором, пр _l = = .

Если заданы точки и , то тогда вектор

.

 

Теперь найдем разложение вектора на составляющие, направленные по осям координат,

Векторы образуют базис в пространстве R³ и называются ортами (рис 2).

Z

 

k

ij У

Х

Рис. 2

Выражение вида называется разложением вектора на составляющие, направленные по осям координат.