Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением двух векторов и называется вектор такой, что

а) , где - угол между векторами;

б) перпендикулярен плоскости, образованной векторами и , и направлен так, что, находясь на конце вектора , можно наблюдать перемещение вектора к вектору против часовой стрелки (рис. 4).

 

	Рис. 4

Замечание. Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение равно нулю, если хотя бы один из векторов

нулевой или векторы и - коллинеарные.

2. .

3. .

Векторное произведение ортов

Исходя из определения векторного произведения, получим следующие равенства:

Z

,

, Y

Рис. 5

(рис. 5). X

Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами

Пусть даны векторы и .

Тогда их векторное произведение вычисляется по формуле

.

1. Найти векторное произведение двух векторов

2. Найти площадь треугольника , заданного координатами своих вершин,

Найдем векторы и . .

. .

3. Пусть даны векторы и , известно, что и угол между векторами и равен .

Найти длину их векторного произведения

.

.

4. Упростить выражение

= =

5. Доказать тождество

= = = + = .

Cмешанное произведение трех векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов называется выражение вида .

Пусть даны три вектора , , , тогда

= .