Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение векторов и определяется соотношением

, где - угол между векторами и .

Пусть даны два вектора .

Скалярное произведение двух векторов в этом случае вычисляется по формуле

.

Используя скалярное произведение, запишем формулы для вычисления проекции вектора на вектор и наоборот,

, , - угол между векторами.

Нормой вектора называется выражение вида .

Если вектор задан в декартовой системе координат, то его длина

равна норме вектора.

Направляющие косинусы вектора

Из определения скалярного произведения двух векторов имеем , где - угол между векторами и (рис. 3).

Пусть дан вектор в базисе .

Рис. 3

Z

Y

X

 

Тогда , где - углы, образованные вектором с осями X, Y,Z cответственно. Полученные таким образом косинусы называются направляющими косинусами вектора и обладают свойством: .

Пусть даны два вектора

Вычислить

1. Скалярное произведение

2. Угол между векторами

= , .

3. Проекции векторов друг на друга

= , =

4. Направляющие косинусы вектора

5. Определить, при каком значении векторы будут ортогональны.

, отсюда .

6. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию

Из условия коллинеарности , тогда , отсюда

7. Даны векторы и , известно, что и угол между векторами и равен .

Вычислить скалярное произведение векторов

= .

8. Найти норму вектора ,

.