Абсолютная и относительная погрешности арифметических операций.
В результат арифметической операции входит ошибка округления. Величина этой ошибки должна учитываться при анализе результатов дальнейших арифметических действий, выполняемых на ЭВМ. Рассмотрим абсолютную и относительную погрешности арифметических операций.
Пусть некоторые числа х и у представлены следующим образом:
где х¢, y¢ - известные приближения, ex, ey – абсолютные погрешности. Тогда Абсолютная погрешность суммы ex+y= ex+ ey. Абсолютная погрешность разности ex-y= ex- ey. При умножении xy=(х¢+ ex)(y¢+ ey)= х¢ y¢+ х¢ ey+ y¢ex+ ex ey. Величиной произведения ex ey пренебрегаем в силу его малости по сравнению с другими слагаемыми. Таким образом, абсолютная погрешность произведения будет равна ex y= х¢ ey + y¢ex. Пример 2. Вычислить u=((x+y)z+v)w, где x,y,z,v,w – исходные числа, заданные точно.
Вначале требуется сложить числа x и y. Относительная погрешность суммы определится ошибкой округления и не должна превышать при втором способе округления 0.5*10-t+1, где t – число значащих цифр в мантиссах операндов,
Далее
где ez =0 по условию; к 1 – ошибка округления при умножении; Отсюда Следя за движением ошибки, получим где к2 – ошибка округления, возникающая при прибавлении v; Так как dv =0, то Окончательно Окончательная погрешность du возникла из-за ошибки округления в каждой из арифметических операций.
|
