КОМПЛЕКСНЕ КРЕСЛЕННЯ ПЛОЩИНИ

План.

1. Способи зображення площини на комплексному кресленні.

2. Сліди площини.

3. Положення площини в просторі відносно площин проекцій.

4. Прямі і точки, що лежать у площині.

5. Головні лінії площини.

 

1. Площиною називається поверхня, що утворена рухом прямої лінії паралельно самій собі по прямолінійній напрямній.

Рис.3.1. Відсік площини

Положення площини у просторі однозначно визначається трьома різними точками, які не належать одній прямій. А тому, для того, щоб задати площину на комплексному кресленні (рис. 3.1, 3.2), достатньо вказати проекції таких геометричних елементів:

1) трьох точок, що не лежать на одній прямій (рис.3.2-а);

2) прямої і точки, розташованої поза нею (рис.3.2-б);

3) двох прямих, що перетинаються (рис.3.2-в);

4) двох паралельних прямих (рис.3.2-г);

5) відсіку площини (трикутника або іншої плоскої фігури) (рис.3.2);

6) слідами площини (рис. 3.4).

 

а) б) в) г)

Рис. 3.2. Способи задавання площини

2. У деяких випадках площину доцільно задавати не довільними прямими, що перетинаються, а прямими, по яких ця площина перетинає площини проекцій.

Рис.3.2. До визначення слідів площини

Слідом площини називається пряма, по якій ця площина перетинається з площиною проекцій. Позначають сліди відповідно h ⁰, f ⁰, p ⁰. Ці прямі лежать у площині і перетинаються між собою попарно в точках (P_x, P_y, P_z), які лежать на осях проекцій і є точками перетину площини з відповідними осями (горизонтальний і фронтальний сліди перетинаються в точці, яка лежить на осі Х₁₂). Ці точки називаються точками збігу слідів площини.

На рисунку 3.3 показано зображення площини на комплексному кресленні за допомогою слідів h ⁰ (h ⁰₁, h ⁰₂) і f ⁰ (f ⁰₁, f ⁰₂). Проекції слідів f ⁰₁ i h ⁰₂ збігаються з віссю Х₁₂.

Рис.3.3. Комплексне креслення площини заданої слідами

Горизонтальний слід

h ⁰ (h ⁰₁, h ⁰₂): h ⁰ Ì П₁ Þ h ⁰ º h ⁰₁;

h⁰₂ завжди належить осі Х₁₂.

Фронтальний слід

f ⁰ (f ⁰₁, f ⁰₂): f ⁰ Ì П₂ Þ f ⁰ º f ⁰₂;

f ⁰₁ завжди належить осі Х₁₂.

Точка збігу слідів площини Х^S (Х^S=S Ç Х₁₂) належить осі проекцій (Х^S Î Х₁₂), тобто Х^S º Х^S₁º Х^S₂, а тому позначаємо її як точку, а не як проекцію.

Для того, щоб побудувати слід площини на епбрі необхідно і достатньо побудувати сліди двох прямих, які лежать в цій площині (рис. 3.3).

Рис. 3.4. Побудова слідів площини

3. За розташуванням у просторі розрізняють площини окремого і загального положення. Площини окремого положення поділяють на площини рівня і проецюючі.

Площиною рівня називається площина, яка паралельна одній і перпендикулярна до двох інших площин проекцій. Розрізняють три види площин рівня:

горизонтальну (рис.3.5-а) – паралельну площині проекцій П₁ і перпендикулярну до П₂ та П₃;

фронтальну (рис.3.5-б) – паралельну площині проекцій П₂ і перпен-дикулярну до П₁ та П₃;

профільну (рис.3.5-в) – паралельну площині проекцій П₃ і перпен-дикулярну до П₁ та П₂.

Проецюючою площиною називається площина, яка перпендикулярна до однієї з площин проекцій. Розрізняють три види проецюючих площин:

горизонтально-проецюючу (рис.3.6-а) – перпендикулярну площині проекцій П₁;

фронтально-проецюючу (рис.3.6-б) – перпендикулярну площині проекцій П₂;

профільно-проецюючу (рис.3.6-в) – перпендикулярну площині проекцій П₂.

а)

б)

в)

Рис. 3.5. Площини рівня

Проекційні ознаки площин рівня:

1) Довільна фігура, що лежить у площині рівня, проецюється в натуральну величину на ту площину, якій ця площина рівня паралельна. На дві інші площини проекцій вона проецюється відрізками прямих (слідами-проекціями площин рівня), які займають вертикальне або горизонтальне положення.

2) Сліди-проекції площин рівня мають збиральну властивість, яка полягає в тому, що проекції точок, ліній, фігур, що лежать у цих площинах, розташовуються на слідах-проекціях.

а)

б)

в)

Рис. 3.6. Проецюючі площини

 

Основні проекційні ознаки проецюючих площин:

1) Проецююча площина зображується слідом-проекцією на перпендикулярній до неї площині проекцій. На двох інших площинах проекцій фігура, що лежить у проецюючій площині, зображається спотворено.

2) Проецюючу площину можна задати лише одним слідом-проекцією, який має збиральну властивість (точки, лінії, фігури, що належать проецюючій площині, проецюються на слід-проекію цієї площини).

Площина, яка не перпендикулярна ні одній із площин проекцій (рис. 3.7, 3.8) називається площиною загального положення.

Рис. 3.7. Комплексне креслення площини загального положення

Рис.3.8. Епюр площини загального положення

Всі три проекції площини загального положення являють собою трикутники. Така площина має три сліди на площинах проекцій, які не являються перпендикулярними жодній осі проекцій.

 

 

4. Пряма належить площині, якщо вона проходить через дві точки, що належать цій площині, або через одну її точку паралельно іншій прямій, проведеній на площині.

Рис. 3.19. Приналежність прямої площині

Для того, щоб на комплексному кресленні площини, заданої слідами провести будь-яку пряму загального положення (рис.3.10), необхідно намітити на слідах площини дві точки (1 і 2), та вважати їх слідами шуканої прямої. Опустивши перпендикуляри з цих точок на вісь проекцій Ох, знаходимо на ній другі проекції слідів прямої. З'єднавши однойменні проекції отримаємо дві проекції прямої лінії розташованої в площині загального положення.

 

Рис. 3.10. Побудова прямої на комплексному кресленні площини

Точка належить площині, якщо вона лежить на прямій, що належить цій площині. Для визначення відсутньої проекції точки, яка лежить у площині необхідно спочатку побудувати проекції прямої, яка проходить через цю точку і лежить у площині і на цих проекціях прямої позначити проекції точки (рис. 3.11).

 

Рис. 3.11. Приналежність точки площині

5. В площині загального положення можна провести безліч прямих, які по відношенню до площин проекцій можуть займати окреме і загальне положення.

Горизонталлю площини (h) називається горизонталь, яка належить цій площині.

Рис.3.12. Головні лінії площини

Побудову горизонталі в площині загального положення S, яка задана DАВС, починаємо з проведення її фронтальної проекції h ₂, яка буде паралельною до осі Х₁₂. Ця проекція перетинає фронтальну проекцію прямої А₂С₂ в точці 1₂, а точка В₂ є спільною для площини S і прямої h ₂. Побудувавши горизон-тальну проекцію точки 1₁ і сполучивши між собою 1₁ і В₁, знайдемо горизонтальну проекцію горизонталі. Через кожну точку площини можна провести безліч горизонталей, і всі вони водночас будуть паралельні між собою та паралельні до нульової горизонталі або горизонтального сліду площини h ⁰.

Фронталлю площини (f) називається фронталь, що належить цій площині. Побудову фронталі площини (рис. 3.12) починаємо з проведення її горизонтальної проекції f ₁ (А₁2₁) яка паралельна осі Х₁₂. Всі фронтальні прямі проведені в площині паралельні між собою та нульовій фронталі (фронтальному сліду площини f ⁰).

Для того щоб на комплексному кресленні площини, яка задана слідами, провести в цій площині горизонталь (рис.3.13-а), необхідно намітити на фронтальному сліді площини f ⁰₂ точку (1 º 1₂), та вважати її фронтальною проекцією фронтального сліду горизонталі. Потім через точку паралельно осі х₁₂ проводимо пряму, що буде фронтальною проекцією горизонталі (h ₂). Горизонтальну проекція горизонталі проводиться паралельно h ⁰₁ через горизонтальну проекцію точки 1 (1₁).

Аналогічно виконуються побудови для знаходження фронталі (рис.3.13-б).

а)

б)

Рис. 3.13. Побудова горизонталі і фронталі на комплексному кресленні площини

 

Профільною прямою площини (р) називається пряма, що належить цій площині і паралельна профільній площині проекцій. Її проекції на П₁ і П₂ завжди перпендикулярні осі Х₁₂ (рис. 3.12).

Лініями найбільшого нахилу площини до площин проекцій називаються прямі, що лежать у площині і перпендикулярні до ліній рівня площини (слідів площини). Для побудови ліній найбільшого нахилу площини (ЛНН) необхідно побудувати лінії рівня площини, а потім – лінії найбільшого нахилу.

У площині розрізняють лінії найбільшого нахилу:

1) ЛНН відносно П₁ визначає нахил площини до П₁ і має ще одну назву: лінія скату; відмітною особливістю лінії найбільшого нахилу до П₁ є перпендикулярність її горизонтальної проекції до горизонтальної проекції горизонталі площини чи до її горизонтального сліду (ЛНН)₁ ^ h ₁;

2) ЛНН відносно П₂ (рис.3.17) визначає нахил площини до П₂; відмітною особливістю ЛНН до П₂ є перпендикулярність її фронтальної проекції до фронтальної проекції фронталі площини чи до її фронтального сліду (ЛНН) ₂ ^ f ₂;

3) ЛНН відносно П₃ визначає нахил площини до П₃; відмітною особливістю ЛНН до П₃ є перпендикулярність її профільної проекції до профільної проекції профільної прямої площини чи до її профільного сліду (ЛНН)₃ ^ р ₃.

 

 

Рис. 3.17. Побудова ЛНН на комплексному кресленні площини

Запитання для самоперевірки

 

1. Як задається площина на комплексному кресленні?

2. Що таке слід площини?

3. Де розташовуються фронтальна проекція горизонтального сліду і горизонтальна проекція фронтального сліду площини?

4. Які площини називаються площинами рівня? Які властивості цих площин?

5. Які площини називаються проецюючими? Які властивості цих площин?

6. Сформулюйте умови належності прямої площині.

7. Як побудувати на кресленні точку, яка належить заданій площині?

8. Які прямі називаються горизонталями площини? фронталями?

9. Що таке лінія найбільшого нахилу площини?

ЛЕКЦІЯ 4.

ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР

План.

1. Взаємне положення прямих і площин

1.1. Точка і пряма.

1.2. Дві прямі

1.3. Пряма і площина.

1.4. Дві площини.

2. Теорема про проеціювання прямого кута.

3. Взаємна перпендикулярність.

3.1. Двох прямих

3.2. Прямої і площини.

3.3. Двох площин.

 

1. Точка належить прямій, коли її однойменні проекції лежать на однойменних проекціях прямої і знаходяться у проекційному зв’язку. Тому належність точки прямій загального положення достатньо перевірити на двох її проекціях В лекції №2, п. 2.2 було розглянуто можливі варіанти взаємного положення точки і прямої (рис. 2.9).

Рис.4.1. Взаємний перетин двох прямих

Прямі в просторі можуть займати різні положення – перетинатися, бути паралельними або мимобіжними.

Якщо прямі перетинаються в просторі, то на епюрі (рис. 3.1) перетинаються їх однойменні проекції. Проекції точок перетину прямих знаходяться у проекційному зв’язку.

Якщо одна з прямих, що перетинаються являється лінією рівня, то перевірка перетину прямих проводиться у цій площині проекцій, до якої лінія рівня паралельна.

Якщо прямі в просторі паралельні, то їх однойменні проекції на будь-яку площину також взаємно паралельні а ₁ ІІ b ₁, a ₂ II b ₂ (рис.4.2-а).

Перевірку прямих загального положення на паралельність достатньо провести на двох проекціях. Паралельність прямих рівня, перевіряють на тій площині проекцій, до якої ці прямі паралельні.

а) б)

Рис. 4.2. Взаємне положення прямих в просторі

Рис.4.3. Мимобіжні прямі

Прямі, які в просторі не паралельні між собою і не перетинаються називаються мимобіжними. Точки перетину однойменних проекцій цих прямих не лежать на одній лінії проекційного зв’язку (рис.4.2-б, 4.3) та називаються конкуруючими точками (детальніше ознайомлення див. лекція №1 п. 1.6).

Загальним випадком взаєм-ного положення прямої і площини є їх перетин. Якщо точка перетину знаходиться у нескінченності, то пряма і площина паралельні між собою (рис.4.4).

 

Рис.4.4. Паралельність прямої та площини

Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна якій-небудь прямій, розміщеній на цій площині.

Якщо через точку в просторі треба провести пряму, паралельну площині, то спочатку в цій площині проводимо яку-небудь пряму, а потім через задану точку проводимо другу пряму, паралельну першій (рис.4.4).

Побудова точки зустрічі прямої загального положення з площиною загального положення складається з трьох операцій (рис.4.5):

1. Проведення через задану пряму c допоміжної площини-посередника Q (зазвичай проецююча площина).

 

Рис.4.5. Перетин прямої та площини

 

2. Знаходження лінії MN перерізу заданої площини S з допоміжною площиною Q.

3. Визначення точки K перетину заданої прямої c зі знайденою лінією перерізу двох площин. Точка K є шуканою точкою перетину прямої c з площиною S.

Рис.4.6. Перетин прямої з проецюючою площиною

У випадку перетину прямої m загального положення з проецюючою площиною Y ^ P₂ (рис.4.6), проекція точки перетину на P₂ – точка К₂ визначається відразу: m ₂ Ç Y₂ = K₂. За допомогою лінії зв’язку визначаємо горизонтальну проекцію точки K – K₁, виходячи з умови належності точки K прямій m. Видимість на П₁ визнача-ємо за допомогою точок 1 і 2, конкуруючих відносно площини проекцій П₁.

Рис.4.7. Перетин проецюючої прямої з площиною загального положення

Випадок перетину проецюючої прямої n ^ П₁ з площиною D (a Ç b ) загального положення розглянуто на рис. 4.7.

Загальним випадком взаємного положення двох площин є їх переріз. Якщо лінія перерізу знаходиться в нескінченності, то площини будуть паралельні між собою.

Площини паралельні (рис.4.8), якщо дві прямі, що перетинаються, однієї з них відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються, другої.

Площини окремого положення паралельні тоді, коли паралельні їх однойменні сліди-проекції (рис.4.8-б).

Щоб побудувати через задану точку K площину, паралельну площині S (а Ç b), досить через точку K провести дві прямі, відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються і належать площині S (рис.4.8).

 

а) б)

Рис.4.8. Паралельність площин в просторі

Дві площини, перпендикулярні до якої-небудь площини проекцій, перетинаються по прямій, яка перпендикулярна до тієї самої площини проекцій (рис.4.9-а).

Дві площини, які перпендикулярні до різних площин проекцій, перерізаються по прямій, проекції якої збігаються зі слідами-проекціями площин (рис.4.9-б).

а) б)

Рис.4.9. Перетин площин окремого положення

 

Рис.4.10. Взаємне положення площин в просторі

У випадку перетину площини S (DDEF) проецюючого положення (S ^ П₂) з площиною Q (DАВС) загального положення (рис.4.10), лінія перетину на фронтальній проекції збігається зі слідом проекцією площини S. Зафіксувавши пряму перетину п точками 1 і 2, які є спільними для обох площин, що перетинаються, знайдемо її горизонтальну проекцію. Видимість площин Q і S визначаємо на П₁ за допомогою конкуруючих точок 3 і 4.

Розглянемо випадок перетину двох площин загального положення (рис. 4.11). Дві площини перетинаються по прямій лінії, а положення прямої цілком визначається двома точками. Тому розв'язання задачі на побудову проекцій прямої перетину двох площин у загальному випадку зводиться до визначення проекцій двох точок, які одночасно належать кожній з площин, що перетинаються. Лінія перетину площин пройде через ці дві точки.

Задачу можна розв'язати двома способами:

- способом знаходження точки зустрічі прямої з площиною;

- способом допоміжних січних площин (метод посередника).

Суть метода посередника:

а) дві задані площини перетинаються третьою допоміжною площиною-посередником;

б) будується лінія перетину кожної з заданих площин з посередником;

в) знаходиться точка, в якій перетинаються ці лінії перетину і яка є однією з точок шуканої лінії перетину заданих площин.

Нехай задано дві площини загального положення S (DАВС) та Q (a ІІ b). Необхідно знайти лінію перетину площин S Ç Q = n (MN).

1) Вводимо допоміжну фронтально-проецюючу площину L – L ^ П₂;

L Î a; a Ç S = M; L Ç S = l; l ₂ º a ₂º L₂; l ₁Ç a ₁= M₁Þ M₂.

2) Вводимо допоміжну фронтально-проецюючу площину Ф – Ф ^ П2; Ф Ç S = t ( т. 3,4); Ф Ç Q = c ( т. 5, 6);

d Ç t = N; Ф₂º c₂º t₂º N₂; d ₁Ç t ₁= N₁.

3) Видимість площин на П₁ і П₂ визначаємо за допомогою т. 7, 8 і 9, 10

Рис.4.11. Перетин площин загального положення

2. Для того, щоб ортогональна проекція прямого кута на яку-небудь площину проекцій була прямим кутом (проеціювалася в натуральну величину), необхідно і досить, щоб хоча б одна зі сторін цього кута була паралельною площині проекцій, в той час, як інша сторона не повинна бути перпендикулярною до цієї площини проекцій.

Ð ABC = 90°: BC ІІ П₀ Þ Ð A₀B₀C₀ =90°.

Доведемо це. Продовжимо АВ до перетину з площиною П₀ в точці K º K₀. Через точку K₀ в площині П₀ проведемо пряму q₀ ІІ B₀C₀. Оскільки q₀ ІІ B₀C₀, а B₀C₀ ІІ BC, то q₀ ІІ BC. Звідси кут BK₀L₀= 90 °. Згідно з теоремою про три перпендикуляри (пряма, яка належить площині, тоді і тільки тоді перпендикулярна похилій до цієї площини, коли вона перпендикулярна до її проекції на розглядувану площину) кут B₀K₀L₀ теж прямий. Через те, що K₀L₀ ІІ B₀C₀, а кут B₀K₀L₀ = 90 ° і кут K₀B₀C₀ = 90 °.

 

а) б)

Рис.4.12.

Висновок:

1) якщо проекція плоского кута являє собою прямий кут, то проецюючий кут буде прямим лише за умови, що хоча б одна зі сторін цього кута паралельна площині проекцій (рис. 4.12-б).

2) якщо проекція будь-якого кута, у якого одна із сторін паралельна площині проекцій, являє собою прямий кут, то кут, що проецюється, теж буде прямим (рис. 4.12-б).

Теорема про проеціювання прямого кута є теоретичною передумовою для побудови на комплексному кресленні проекцій прямих і площин, взаємно перпендикулярних у просторі.

 

3. Знаходження відстані між двома прямими зводиться до розв'язання задачі на визначення відстані від точки до прямої, оскільки саме відстань від точки до прямої визначається довжиною відрізка перпендикуляра, проведеного з точки на пряму.

Розглянемо три випадки.

Випадок 1. Пряма ί; ^ П₂(П₁); точка А.

Рис.4.13.

У випадку, коли пряма займає часткове положення (паралельне або перпенди-кулярне до площини проекцій), на основі теореми про проеціювання прямого кута можна без будь-яких допоміжних побудов провести проекції прямої, перпендикулярної до заданої (рис. 4.13, 4.14).

Являючись фронталь-но-проецюючою, (рис. 4.13) пряма ί; водночас є горизонталлю, а тому на П₁ вона зберігає свою перпендикулярність з перпендикуляром, опущеним з точки А на неї. Таким чином, на комплексному кресленні А₁K₁ ^ ί; ₁. Очевидно, що АK – фронталь, а тому А₂K₂ – натуральна величина відрізка перпендикуляра АK.

Рис.4.14.

Випадок 2. Пряма l паралельна П₂(П₁); точка А.

Оскільки пряма l – фронтальна (рис. 4.14), то на площині проекцій П₂ вона збереже перпендикулярність з перпендикуляром, проведеним до неї з точки А: А₂К₂ ^ l ₂.

З комплексного креслення очевидно, що відрізок АK – загального положення, а тому його натуральну величину визначаємо способом прямокутного трикутника.

Випадок 3. Пряма l загального положення; точка А (рис. 5.13).

Якщо пряма займає загальне положення то для визначення відстані від точки до прямої використовуємо відому з геометрії теорему: дві прямі взаємно перпендикулярні тільки в тому випадку, якщо через кожну з них можна провести площину, перпендикулярну до другої прямої.

1) Через точку А проводимо площину S, яка буде перпендикулярною до прямої l. А Î S; S ^ l. S(h Ç f); h ₁ ^ l ₁, f ₂ ^ l ₂.

Рис.4.15.

2) Площина S визначає множину прямих, перпендикулярних до прямої l, які проходять через точку А. Щоб виділити з цієї множини єдину пряму, яка перетинає пряму l і відрізком якої вимірюється відстань від точки А до прямої l, необхідно знайти точку К зустрічі прямої l з площиною S і з'єднати її з точкою А. l Ç S = K: l º Q; l ₂º Q₂; Q ^ P₂. АК – відстань від точки А до прямої l.

3) Способом прямокутного трикутника визначаємо натуральну величину відрізка АК.

Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються.

Спочатку розглянемо часткові випадки, коли площина паралельна або перпендикулярна до площини проекцій.

Випадок 1. Якщо площина паралельна площині проекцій, то пряма, яка перпендикулярна до неї, буде проецюючою. Одна з її проекцій буде перпендикулярною до сліду проекції площини.

Наприклад, задано площину S ІІ П₁ (рис. 4.16-а) і точку А (А₁,А₂). Необхідно через точку А провести пряму ί; ^ S.

Оскільки S ІІ П₁, а ί; ^ S, то ί; ^ П₁. А Î ί;: ί; ₁ º А₁, ί; ₂ ^ S₂.

 

а) б)

Рис.4.16.

 

Випадок 2. Якщо площина займає проецююче положення, то пряма лінія, яка перпендикулярна до площини, буде прямою рівня.

Наприклад, задано площину S ^ П₂ (рис. 4.16-б) і точку А (А₁, А₂). Необхідно через точку А провести пряму l ^ S.

Оскільки площина S ^ П₂, а l ^ S, то пряма l ІІ П₂ Þ l ₁ ІІ X₁₂, l ₂ ^ S₂.

Випадок.3. Якщо площина S займає загальне положення, то і перпендикуляр до цієї площини теж буде займати загальне положення.

Наприклад, задано площину S в системі площин проекцій П₁П₂ (рис. 4.17-а). Пряма n ^ S. А – основа перпендикуляра на площині S. Якщо провести через точку А у площині S фронталь f і горизонталь h, то ці прямі утворять з прямою n прямі кути, як і будь-які інші прямі, що належать площині S, оскільки з геометрії відомо, що пряма, перпендикулярна до площини, перетинається або схрещується під прямим кутом з будь-якою прямою, проведеною на цій площині.

Але на комплексному кресленні перпендикулярність зберігається не з кожною прямою. Саме тому ми виділяємо фронталь і горизонталь.

Через те, що h ІІ П₁, прямий кут, утворений нею з прямою n ^ S спроецюється на П₁ без спотворення на основі теореми про проеціювання прямого кута. З тієї ж причини кут, утворений f з прямою n ^ S, спроецюється на П₂ також без спотворення.

Таким чином, для побудови проекцій перпендикуляра до площини необхідно мати лінії рівня чи сліди площини (рис. 4.17-б): S – площина загального положення, А Î S, n ^ S, A Î n, h і f Ì S, h ІІ h ₁ ⁰: f ІІ f ₂ ⁰: n ₁ ^ h ₁ ⁰: n ₂ ^ f ₂ ⁰.

 

а) б)

 

Рис.4.17.

 

Висновок. Для того, щоб пряма у просторі була перпендикулярна до площини, необхідно і достатньо, щоб на комплексному кресленні горизонтальна проекція прямої була перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі площини, а фронтальна проекція прямої перпендикулярна до фронтальної проекції фронталі площини (або необхідно і достатньо, щоб проекції цієї прямої були перпендикулярні до однойменних слідів площини): n ₁ ^ h ₁, n ₂ ^ f ₂ Û n ^ S (f, h).

Можна провести перпендикуляр до площини з будь-якої точки, а потім розв'язувати задачу про знаходження точки перетину прямої з площиною. Розвиваючи цю думку, приходимо до задачі на визначення відстані від точки до площини.

Задача 1. Визначити відстань від точки А (A₁, A₂) до площини S (c ІІ d) (рис. 4.18-а).

Відстань від точки до площини вимірюється довжиною відрізка перпендикуляра, опущеного з точки на площину: n ^ S; A Î n.

1) Проводимо лінії рівня площини h і f.

2) Проводимо проекції перпендикуляра з точки А до площини S:

n ₁ ^ h ₁; n ₂ ^ f ₂. Зауважимо, що пряма n схрещується з f і h під прямими кутами, а тому основи перпендикуляра на площині ми не маємо.

3) Знаходимо точку K перетину прямої n з площиною S: K = n Ç S.

4) Визначаємо натуральну величину відрізка перпендикуляра АК способом прямокутного трикутника.

Можна розв'язати зворотну задачу, тобто побудувати площину, перпендикулярну до заданої прямої.

 

а) б)

Рис.4.18. Знаходження відстані від прямої до площини

Задача 2. Через точку А (A₁, A₂) провести площину Q, яка перпенди-кулярна до прямої l. Пряма l – загального положення

Площина буде перпендикулярна до прямої, якщо дві перетині прямі цієї площини будуть перпендикулярні до заданої прямої. А тому проведення через точку А площини Q, перпендикулярної до прямої l, виконується шляхом побудови фронталі і горизонталі, які схрещуються під прямими кутами із заданою прямою: А Î Q; Q (h Ç f): h ₁ ^ l ₁; f ₂ ^ l ₂ (рис. 4.18-б).

Дві площини взаємно перпендикулярні, якщо одна з них проходить через перпендикуляр до другої. Тому достатньо, щоб серед елементів, які задають площину Q, яка перпендикулярна площині S, був перпендикуляр до площини S (DABC).

Задача 1. Через точку М провести площину Q, яка перпендикулярна до заданої площини S (рис. 4.19).

Щоб провести через точку М площину, перпендикулярну до площини Q, треба спочатку з точки М опустити перпендикуляр на цю площину.

1) Проводимо h i f Ì S.

2) Проводимо проекції перпендикуляра l, опущеного з точки М на площину S: l ₁ ^ h ₁; l ₂ ^ f ₂.

3) Будуємо площину Q (l Ç m). Пряму m Þ m ₁, m ₂ проводимо довільно, оскільки площин, які проходять через пряму l і перпендикулярних до площини S, безліч, а тому довільною прямою m визначена одна з можливих.

 

 

Рис.4.19. Перпендикулярність двох площин

Запитання для самоперевірки

1. Яке взаємне положення можуть займати пряма і площина? дві площини?

2. Яка умова паралельності прямої і площини? двох площин?

3. Як взаємно розташовані однойменні сліди двох паралельних між собою площин?

4. Чи є ознакою взаємного перерізу двох площин перетин хоча б одної пари їх однойменних слідів?

5. Як визначити взаємне положення прямої і площини?

6. Як будується точка перетину прямої лінії з площиною, перпендикулярною до одної чи до двох площин проекцій?

7. Як будується лінія перерізу двох площин, з яких хоча б одна перпендикулярна до П1 або П2?

8. В чому полягає загальний метод побудови лінії перерізу двох площин?

9. Чим відрізняється проеціювання в натуральну величину прямого кута від непрямого?

10. Чи може прямокутна проекція гострого кута бути прямим кутом та навпаки?

11. Як розміщуються проекції перпендикуляра до площини?

12. Як провести площину, перпендикулярну до заданої прямої (через точку на прямій і через точку поза прямою)?

13. Як провести перпендикуляр з точки на пряму загального положення?

14. Як побудувати взаємно перпендикулярні площини?

15. Як визначити кут нахилу площини до площини проекцій?

ЛЕКЦІЯ 5.