Примеры практического применения

Определение корреляционных функций детерминированных сигналов

Найдем автокорреляционную функцию K(τ) одиночного прямоугольного импульса амплитуды A и длительностью τ_и. Вычислим коэффициент корреляции r(τ) и интервал корреляции.

Рис. 3.8. Нахождение функции автокорреляции. a) – исходный импульс, b) – график коэффициента корреляции (жирной линией показано исходное положение импульса, а пунктиром – копии импульса, сдвинутые на интервал τ влево и вправо относительно исходного положения)

Из рисунка 3.8 видно, что перекрытие импульсов имеет место при 0<t<τи.

Следовательно, автокорреляционная функция K(τ) отлична от нуля на интервалах [0, τи-τ] и [τ, τи]. Переменный сдвиг τ соответствует только положительным значениям, следовательно, при подстановке его в пределы интегрирования нужно использовать абсолютное значение |τ|:

При τ = 0 значение функции автокорреляции K(0)=A2τи.

Коэффициент корреляции

Свертка

Измеренная интенсивность выражается через интенсивность спекл-картины как свертка с функцией, описывающей форму приемной апертуры

Рассмотрим достаточно распространенный случай – дифракция на объекте типа щелевое отверстие. Распределение интенсивности в плоскости фотоприемника

Световой поток, падающий на фотоприемник в каждый момент времени, с точностью до постоянного множителя

где x0 – координата середины сканирующей щелевой диафрагмы; b – ширина щели; b = kπ (см. рис. 3.9).

Рис. 3.9. Схема расчета влияния полевой диафрагмы

Преобразуя последнее выражение, получим

где Si – интегральный синус.

Анализ данного выражения показывает, что с увеличением отношения b/π величина светового потока растет и, следовательно, растет амплитуда электрического сигнала. Контраст ДК при этом уменьшается (рис. 3.10). Форма кривой при этом также изменяется, что может привести к изменению расстояния между точками с минимальной интенсивностью, несущих информацию о размере объекта.

Рис. 3.10. Влияние ширины щели фотоприемника на контраст ДК

Измеренное и истинное значения контрастности. Рассмотрим случай считывания интерференционной картины с помощью фотоприемника с конечным размером чувствительной площадки (перед фотоприемником установлена щелевая диафрагма).

Рис. 3.11. К расчету интенсивности света, прошедшего через щель шириной b

Распределение интенсивности в интерференционной картине можно описать функцией cos2 (πx / b), где b - ширина щелевой диафрагмы, а ϖ - ширина интерференционного максимума, x – текущая координата.

Такая запись аргумента функции позволяет выразить результат расчета в относительных величинах, что удобно для последующего анализа.

Функцию косинус квадрат выразим через косинус двойного угла

В этом случае вычисление интеграла упрощается.

Энергия света, проходящего через щель шириной ϖ, пропорциональна заштрихованной на рис. области

где x0 – координата середины щели. Интегрирование дает

При перемещении щели или полос по полю максимальное и минимальное значения энергии:

Отсюда измеренная контрастность полос