Распространение взаимной когерентности. Распространение световых волн, функция взаимной когерентности

Пусть u(P,t) - скалярная амплитуда одной компоненты поляризации электрического или магнитного поля, связанная с монохроматическим оптическим сигналом (излучением). В соответствии с принятым в скалярной теории подходом, рассмотрим каждую компоненту независимо. Здесь Р - пространственная координата точки, а параметр t - момент времени.

Аналитический сигнал, связанный с u(P,t), имеет вид где ν - частота волны, а U(P,ν) - амплитуда фазора.

Пусть волна падает слева на неограниченную поверхность. Необходимо найти амплитуду фазора поля в точке Ро справа от поверхности Σ через характеристики поля на поверхности Σ.

В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля справедливо следующее решение

где λ = с /ν - длина волны излучения (с - скорость света); r - расстояние от точки Р₁ до точки Р₀; θ - угол между прямой линией, соединяющей Р₀ и Р₁, и нормалью к поверхности Σ; χ(θ) – коэффициент наклона, .

Как правило, рассмотрение большинства задач ведется в приближении малых углов наклона и поэтому в дальнейшем, мы будем считать этот множитель равным единице.

Принцип Гюйгенса-Френеля можно интерпретировать таким образом. Каждая точка на поверхности Σ действует как новый вторичный источник сферических волн. Напряженность поля вторичного источника в точке Р1 пропорциональна , и этот источник излучает с амплитудным коэффициентом направленности χ(θ).

Рис. 6.2. Схема распространения излучения

Функция взаимной когерентности. При распространении волны в пространстве ее структура изменяется. Изменяется соответственно и функция взаимной когерентности. Следовательно, можно говорить о распространении функции взаимной когерентности.

Причина эта объясняется тем фактом, что световые волны подчиняются волновому уравнению.

Рис. 6.3. Распространение функции взаимной когерентности

Решение, основанное на принципе Гюйгенса–Френеля. Рассмотрим распространение световой волны с произвольными свойствами когерентности.

Дана функция взаимной когерентности Γ(Ρ₁, Ρ₂;τ) на поверхности Σ₁ и надо найти функцию взаимной когерентности Г(Q₁,Q₂;τ) на поверхности Σ₂. То есть наша цель предсказать результаты интерференционного опыта Юнга на отверстиях Q₁ и Q₂ если известны результаты интерференционных опытов на всевозможных отверстиях Р₁ и Р₂.

По определению функция взаимной когерентности на поверхности Σ₂

Рис. 6.4. Процесс распространения функции взаимной когерентности

Используя выражение для распространения узкополосного сигнала

,

запишем выражение для узкополосного сигнала для нашего случая для двух точек Q₁ и Q₂ поверхности Σ₂

Подставив выражение для полей в функцию взаимной когерентности и изменяя порядок выполнения интегрирования и усреднения, получим

Среднее по времени в подынтегральном выражении может быть выражено через функцию взаимной когерентности на поверхности Σ 1, что приводит к основному закону распространения взаимной когерентности

В соответствии с условием квазимонохроматичности (Δω/ω<<1) оптическая разность хода должна быть намного меньше длины когерентности излучения.

Опираясь на это условие, найдем закон распространения излучения для взаимной интенсивности, заметив, что взаимная интенсивность

а также

Подставив это в выражение для распространения взаимной когерентности, при τ=0 получим

Это основное выражение, определяющее закон распространения взаимной интенсивности.

Распределение интенсивности на поверхности Σ 2 можно найти, устремив Q1 к Q2 (т.е. точки Q1 и Q2 должны совпасть) в последней формуле и заменив