И теорема Котельникова

По своему происхождению дифракции и интерференция два различных понятия, что отразилось и в смысле слов, которыми их обозначили. Дифракция это дробление, разделение, разламывание, а интерференция это взаимное влияние, смешивание. Таким образом, если дифракция по своей функции это разделение, то интерференция это соединение, то есть эти два явления по своему проявлению суть противоположности.

Рассмотрение сущности этих явлений с точки зрения выявления их общности и различий нужно проводить на основании механизма взаимодействия света с веществом, поскольку все наблюдаемые оптические эффекты проявляются в результате взаимодействия света с веществом.

Все вещества состоят из атомов и молекул. И именно взаимодействие света с атомами и молекулами и определяет все наблюдаемые процессы.

Основные характеристики взаимодействия света с атомом, в частности повторное излучение без изменения частоты, можно получить заменой атома электронным осциллятором. Всякий раз, когда свет проходит через атом, находящийся в основном состоянии, в атоме возникают общие колебания таких же типов и силы, которые должны совершать осцилляторы в рассматриваемой модели при облучении их светом. Электронное облако каждого атома совершает колебания под действием света. Облако колеблется с частотой падающего света, и с амплитудой, соответствующей амплитуде колебаний в осцилляторной модели.

Именно эти колебания, амплитуда которых менее 10^{-17 м, и обеспечивают вторичное испускание света, в результате чего мы и видим все предметы.}

Движение осциллятора, облучаемого светом, является суперпозицией всех движений, которые он совершал бы при облучении совокупностью световых волн. Следовательно, для изучения поведения атомов под действием света достаточно лишь знать движение осцилляторов, возбуждаемое электрической волной определенной частоты и фазы.

Если на электронный осциллятор падает электромагнитная волна с частотой ω, то действие электрического поля проявляется как периодическая сила и приводит к появлению характеристических колебаний. Периодическое электрическое поле вызывает колебания осциллятора с частотой и фазой падающего поля ω, а не с собственной резонансной частотой ω₀. Амплитуда колебаний пропорциональна амплитуде внешней силы, а фазовая постоянная определенным образом связана с фазовой постоянной внешней силы.

Для неоднородного линейного уравнения, описывающего колебания осциллятора под действием внешней силы, справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что решение, соответствующее суперпозиции различных внешних сил, представляет собой суперпозицию отдельных решений.

При дифракции падающая (в общем случае одна) волна взаимодействует с “границей” вещества. На границе вещества атомы переизлучают падающую волну в разных направлениях – волна “разламывается”. При интерференции же волны (как минимум две волны) падают (взаимодействуют) на одни и те же атомы вещества, одновременно возбуждая их, причем каждая со своей фазой и амплитудой, а в общем случае еще и со своей частотой. Поэтому, при определенных соотношениях фаз падающих волн, атом (осциллятор) может возбуждаться резонансно и в этом случае интенсивность рассеянного излучения возрастает, а при каком-то другом соотношении фаз, возбуждаемые в атоме колебания взаимно гасятся и переизлученной волны не возникает. В первом случае мы наблюдаем (регистрируем) максимум интенсивности, а во втором минимум.

Таким образом, два, казалось бы, совершенно разных явления, оба обусловлены взаимодействием света с веществом.

Теорема Котельникова связываетаналоговые и дискретные сигналы и гласит, что, если аналоговый сигнал имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим отсчётам, взятым с частотой, большей или равной удвоенной верхней частоте :

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временно́й характеристикеточек разрыва. Если сигнал имеет разрывы любого рода в функции зависимости его от времени, то его спектральная мощность нигде не обращается в нуль. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный сверху конечной частотой ».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временно́й характеристике. Соответственно, ширина их спектра бесконечна. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно, и, из теоремы Котельникова, вытекают два следствия:

Любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой , где — максимальная частота, которой ограничен спектр реального сигнала;

Если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты дискретизации, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал можно представить в виде интерполяционного ряда:

где — функция sinc. Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала .