Оптический сигнал и его преобразование

В оптике под сигналами обычно понимают распределения амплитуды и фазы светового поля в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны, либо распределения интенсивности поля в этих плоскостях, описываемые двумерными функциями координат.

Независимо от физической природы сигналы в их математическом представлении образуют множества, для элементов которых определены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие требованиям аддитивности, коммутативности и ассоциативности. Такие множества являются линейными (векторными) пространствами над полем комплексных чисел, и на них могут быть заданы линейные операторы. Оператором называют правило, по которому осуществляется отображение одного множества элементов S 1 в другое S 2. Мы будем иметь дело с линейными операторами.

Все виды сигналов можно разделить на две группы: детерминированные и случайные.

Детерминированные, это такие сигналы, параметры и мгновенные значения которых могут быть представлены с вероятностью, равной единице, в любой последующий момент времени, если стали известны параметры и мгновенные значения их в один из предшествующих моментов времени.

Детерминированные сигналы можно подразделить на периодические и непериодические.

Периодическим называется такой сигнал, который может быть представлен в виде s (t) = s (t + nT), где период T – конечный временной интервал, а n – любое целое число. Простейшим представителем периодических детерминированных сигналов является гармоническое колебание:

,

где A – амплитуда, T – период, ω - частота, ϕ - фаза колебания. Строго гармоническое колебание называется монохроматическим. На практике колебание всегда имеет конечную ширину спектра.

Непериодическим детерминированным сигналом называется такой, который не может быть представлен в виде s (t) = s (t + nT). Непериодический сигнал, как правило, ограничен во времени.

Случайными называются сигналы, параметры и мгновенные значения которых могут быть представлены в последующие моменты времени с вероятностью, меньшей единицы, если оказались известными их параметры и мгновенные значения в один из предшествующих моментов времени. Сигналы, несущие информацию, являются случайными. Детерминированные сигналы информации не переносят. Аналогичным образом обстоит дело и с пространственными сигналами, в которых аргументами являются пространственные координаты.

В когерентной оптике под сигналом понимают распределение амплитуды и фазы световой волны в различных плоскостях оптической системы, перпендикулярных к ее оси. Для описания этого распределения вводят понятие аналитического сигнала – непрерывной комплексной функции трех вещественных переменных: пространственных координат x, y и времени t.

Вещественная часть этой функции совпадает с реальным физическим сигналом, а мнимая часть представляет преобразование Гильберта по переменной t от ее вещественной части.

Соотношение между физическим и аналитическим сигналами такое же, как между функциями cos(ω t + ϕ) и exp i (ω t + ϕ): при переходе от вещественной функции к комплексной опускают члены с отрицательными частотами и удваивают коэффициенты при членах с положительными частотами. В случае монохроматического сигнала

аналитический сигнал записывается в виде:

,

где

.

Множитель exp(− i ω t) обычно опускают, рассматривая в качестве сигнала стоящую перед этим множителем комплексную функцию координат F (x, y), называемую комплексной амплитудой, или фазором.