Комплексные числа.

Обратная матрица - такая матрица A^-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E.

A^-1 находится по формуле A^-1_{= * A}^t, где:

A^t – транспонированная матриц
def A – определитель исходной матрицы

Матричный метод решения СЛАУ.

А – матрица системы линейных уравнений, составленная из коэффициентов левой части.

В – матрица из свободных членов.

Х – столбец неизвестных.

Систему можно записать в матричном виде:

АХ=В;

И произвести преобразования:

A*A^-1X=A^-1B;

EX=A^-1B;

X=A^-1B.

После чего нужно перемножить матрицу свободных членов и обратную матрицу.

 

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Кировский филиал

Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

Высшего профессионального образования

«Московский государственный университет путей сообщения»

(Кировский филиал МИИТ)

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Для реализации программы дисциплины

 

«Математика»

Контрольная работа №1

 

для специальности

190623 Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог

 

заочное отделение

 

базовая подготовка среднего профессионального образования

 

(приложение к программе)

 

Киров

 

Методические указания выполнения контрольной работы для реализации программы дисциплины «Математика» для студентов заочного отделения рассмотрены и одобрены на заседании цикловой комиссии общепрофессиональных и математических дисциплин Кировского филиала МИИТ

 

 

Протокол № от ___________20 г.

Председатель ЦК

_______________________ Малышева Э.Ф.

 

Автор методических указаний для реализации программы дисциплины «Математика» по выполнению контрольной работы для студентов заочного отделения – преподаватель Кировского филиала МИИТ

 

Рязанова М.В. _______________

(дата, подпись)

 

 

Внутренний рецензент методических указаний для реализации программы дисциплины «Математика» по выполнению контрольной работы для студентов заочного отделения - преподаватель Кировского филиала МИИТ

 

Фоминых В.В. ______________

(дата, подпись)

 

Пояснительная записка.

Учебная дисциплина «Математика» является естественнонаучной, формирующей базовые знания для освоения общепрофессиональных и специальных дисциплин.

После изучения материала каждого раздела студент должен выполнить домашнюю контрольную работу. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Условие задачи переписывается полностью. Решение примеров сопровождается краткими и чёткими пояснениями.

Для подготовки к зачёту необходимо ответить на вопросы, которые указаны в конце методических рекомендаций.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Две последние цифры шифра	Номер варианта	Номера задач	Две последние цифры шифра	Номер варианта	Номера задач
			3;34;65;96;127				28;59;90;91;122
			4;35;66;97;128				29;60;61;92;123
			5;36;67;98;129				30;31;62;93;124
			6;37;68;99;130				1;32;63;94;125
			7;38;69;100;131				2;33;64;95;126
			8;39;70;101;132				5;37;69;102;134
			9;40;71;102;133				8;40;73;105;137
			10;41;72;103;134				11;43;76;108;140
			11;42;73;104;135				14;47;79;111;143
			12;43;74;105;136				17;50;82;114;147
			13;44;75;106;137				20;53;85;117;150
			14;45;76;107;138				23;56;88;120;124
			15;46;77;108;139				26;59;62;95;127
			16;47;78;109;140				29;33;65;98;130
			17;48;79;110;141				2;36;68;101;133
			18;49;80;111;142				5;39;71;104;137
			19;50;81;112;143				8;42;74;107;140
			20;51;82;113;144				11;45;77;110;143
			21;52;83;114;145				15;49;81;116;152
			22;53;84;115;146				19;52;84;119;159
			23;54;85;116;147				22;57;89;92;121
			24;55;86;117;148				27;31;75;97;128
			25;56;87;118;149				30;34;81;99;131
			26;57;88;119;150				6;35;86;106;136
			27;58;89;120;121				7;38;72;112;153

 

 

 

Методические указания

Комплексные числа.

Числа вида , где – действительная, ‒ мнимая части комплексного числа и и действительные числа, называются комплексными числами. называют действительной частью (обозначают ), а ‒ мнимой частью (обозначают ) комплексного числа.

В электротехнике, где буква обозначает ток, мнимую единицу обозначают буквой .

Если операции сложения, вычитания и умножения комплексных чисел соответствуют обычным правилам раскрытия скобок, то для выполнения деления нужно умножать числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю.

Пример 1. Пусть , . Тогда:

,

,

,

,

На множестве комплексных чисел можно решать квадратные уравнения, дискриминант которых отрицательный.

Пример 2. Решите уравнение .

Находим дискриминант:

Находим корни: ,

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат . Каждому комплексному числу можно сопоставить точку с координатами , и наоборот, каждой точке с координатами можно сопоставить комплексное число . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

Пример 3. Изобразим на комплексной плоскости числа , , , , .

Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке , а именно, комплексное число изображается радиус-вектором точки с координатами . В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:

Пусть комплексное число изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа и обозначается или . Из рисунка очевидно, что .

Угол, образованный радиус-вектором числа с осью , называется аргументом числа и обозначается или . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного . Обычно аргумент указывают в диапазоне от до . Кроме того у числа аргумент не определен.

Величину угла можно найти двумя способами:

I. Из системы уравнений ,

II формуле , где

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Тригонометрическая и показательная формы ‒ это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу.

‒ тригонометрическая форма,

‒ комплексная форма.

Замечание. При записи числа в тригонометрической форме НЕЛЬЗЯ вычислять значения и , иначе мы потеряем явное указание аргумента и снова вернемся к алгебраической форме. Кроме того, если угол получился отрицательным, то знак НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.

Для отыскания аргумента () используют таблицу 1.

Таблица 1.

‒1

‒1

‒1

‒1

‒1

‒1

Пример 4. Записать комплексные числа , , , , в тригонометрической и показательной форме.

Решение. Запишем числа со строгим указанием действительной и мнимой части:

, , , , .

Находим модуль и аргумент у каждого числа:

,

,

,

,

, табличного значения нет, поэтому для определения аргумента воспользуемся вторым способом. , так как то . Получаем .

, ,

, ,

Возведение в степень комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа

Для возведения комплексных чисел в степень используют формулу Муавра:

Пример 5. Вычислите , если z .

Решение. Находим тригонометрическую форму числа :

, , z

По формуле Муавра

Можно представить данное комплексное число в алгебраической форме

Для извлечения корня из комплексного числа используют формулу

где .

Извлечение квадратного корня из комплексного числа . Пусть , где и – действительные числа. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем

.

Что равносильно системе .

Решая эту систему, получаем: , .

Таким образом, извлечение корня квадратного из комплексного числа осуществляется по формуле

.

В скобках перед мнимой единицей берется знак плюс, если , и знак минус, если .

Пример 5. Найдите , если .

Решение. Запишем число . в тригонометрической форме:

, ,

Тогда где

При получим:

При получим:

При получим:

При получим:

Пример 6. Решите уравнение .

Решение. Находим дискриминант: .

Найдем , , так как то в скобках перед мнимой единицей берем знак плюс. Следовательно .

Теперь находим корни квадратного уравнения