Арифметичні дії в q-ричній системі числення

Розглянемо основні арифметичні операції: додавання, віднімання. Правила виконання цих операцій в десятковій системі добре відомі. Ці правила можна застосувати і до всіх інших позиційних систем числення. Тільки таблицями додавання і множення треба користуватися особливими для кожної системи.

Додавання.

Додавання в двійковій системі.

 

+

 

Додавання в вісімковій системі.

 

+

 

При додаванні цифри додаються порозрядно, і якщо при цьому виникає надлишок то він переноситься вліво (формується старший розряд).

Приклад.

Додамо числа в різних системах числення (СЧ).

 

Двійкова СЧ.

 

Вісімкова СЧ.	Шістнадцяткова СЧ.

 

 

Віднімання.

Двійкова СЧ. Правила віднімання:

Приклади:

 

 

Вісімкова СЧ.	Шістнадцяткова СЧ.

 

 

Кодовані позиційні системи числення

 

Десяткова цифра	Код	Код	Код 8421 + 3

 

Двійково-десяткові коди мають надлишковість, так як для кодування десяткових цифр використовуються тільки 10 комбінацій із 16.

 

 

Двійково-десятковий код

 

В двійково-десятковому (двійково-кодованому) представленні десяткового числа кожна десяткова цифра зображується тетрадою двійкових символів , – десяткова цифра – го розряду; – двійкова цифра – ї тетради.

Одержаний таким чином десятковий код, кодований двійковими символами називається Д – кодами.

Є деяка множина Д кодів. Це зумовлено наявністю 10 дозволених із 16 можливих комбінацій, які допускає тетрада.

Наявність заборонених комбінацій в Д - кодах відрізняє їх від звичайних позиційних систем числення в яких всі комбінації – дозволені. Із всієї множини відомих Д – кодів найбільш поширені в обчислювальній техніці отримали код Д1 прямого заміщення (система 8421) і код Д2 з надлишком 3 (система 8421+3).

Із-за заборонених комбінацій, при додаванні чисел в Д – кодах виникає необхідність в корекції результату і трудності в формуванні десяткового переносу в наступну тетраду.

Особливості додавання чисел в кожному із Д – кодів різні.

Задані числа

;

,

де , – двійково-кодовані десяткові цифри (тетради).

Необхідно отримати

при цьому ; ,

де , - десяткові переноси;

- основа системи числення.

Так як найбільше десяткове однорозрядне число 9 то з врахуванням переносу в даний розряд, значення результату розрядного сумування лежить в межах від 0 до 19. При цьому одиниця в другому розряді представляє собою десятковий переніс в наступну тетраду, а суму одержуємо в двійковому коді, який відрізняється від потрібного двійково-десяткового представлення, тобто він потребує корекції.

При додаванні чисел в Д кодах можуть виникнути наступні випадки:

1) якщо , то виконання дій над розрядами тетради по правилах двійкової арифметики зразу отримаємо правильний результат;

2) якщо , то виникає десятковий переніс. Тому сума в даній тетраді повинна бути рівна:

,

де

При цьому ознакою неправильного результату є в одному випадку виникнення потетрадного переносу , в другому поява забороненої комбінації, якщо .

В будь якому із цих випадків необхідно скоректувати результат в даній тетраді введенням поправки +0110, що приведе до виникнення потетрадного переносу і в другому випадку.

Корекція обумовлена тим, що кожний переніс забирає із собою із даної тетради 16 одиниць, а приносить в наступну тільки 10 одиниць.

Приклад. Додати тетради ; при .

.

Так як , необхідна корекція результату ,

Приклад. Додати тетради ; при .

.

Так як величина належить до заборонених комбінацій, то необхідно ввести поправку виду 0110.

Отже, якщо в – й тетраді сума цифр з переносом із - ї тетради менше 10, то додавання відбувається без поправок;

якщо сума цифр з переносом рівна або більша 10, то відбувається корекція результату тетради введенням поправки +0110, а переніс який при цьому виник додаємо до наступної тетради .

При цьому, якщо в декількох тетрадах, починаючи з – ї, розрядна сума дорівнює 1001, то переніс приводить до формування забороненої комбінації в – й тетраді. В результаті цього необхідна корекція, яка приведе до забороненої комбінації в – й тетраді і т.д.

Приклад. Додати два числа: і .

: .

Приклад: , .

;

проводимо корекцію в молодшій тетраді:

;

проводимо корекцію в другій тетраді:

;

проводимо корекцію в старшій тетраді:

.

 

 

Контрольні запитання

 

1. Які системи числення називаються позиційними, непозиційними?

2. Переведіть задані числа із однієї системи числення в іншу.

3. Виконайте арифметичні операції в різних системах числення.

4. Які фактори необхідно враховувати при виборі СЧ.