Позиційні системи числення.

 

1. Принципи побудови систем числення.

Числова інформація в комп’ютерах характеризується:

– системою числення (двійкова, десяткова та інші);

– видом числа (числа дійсні, комплексні, масиви);

– типом числа (змішане, ціле, дробове);

– формою представлення числа (місцем коми – з природною (змінною), фіксованою, плаваючою комами);

– розрядною сіткою і форматом числа;

– діапазоном і точністю подання чисел;

– способом кодування від’ємних чисел – прямим, оберненим та доповняльним кодами;

– алгоритмами виконання арифметичних операцій.

Системою числення називається сукупність цифр і правил для записування чисел.

Запис чисел у деякій системі числення називається його кодом.

Усі системи числення поділяють на позиційні й непозиційні. Для запису чисел у позиційній системі числення використовують певну кількість графічних знаків (цифр і букв), які відрізняються один від одного. Число таких знаків називається основою позиційної системи числення.

В комп’ютерах використовують позиційні системи з різною основою.

Система числення з основою два (цифри 0 і 1) називається двійковою, система числення з основою три (цифри 0, 1, 2) – трійковою і т.д.

У системах числення з основою меншою десяти використовують десяткові цифри, а для основи більшої десяти добавляють букви латинського алфавіту – А, B, C, D, E, F (табл. 1.1, табл.1.2).

Таблиця 1.1 – Алфавіт систем числення

 

Основа	Система числення	Знаки
	Двійкова	0, 1
	Трійкова	0, 1, 2
	П’ятіркова	0, 1, 2, 3, 4
	Вісімкова	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	Десяткова	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	Шістнадцяткова	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F

У позиційних системах числення значення кожної цифри визначається її зображенням і позицією в числі. Окремі позиції числа називають розрядами, а номер позиції – номером розряду.

Число розрядів у записі числа називається його розрядністю і збігається з довжиною числа.

У непозиційних системах числення значення кожної цифри не залежить від її позиції.

Найвідомішою непозиційною системою є римська, в якій використовуються сім знаків – І, V, X, L, C, D, M, таким значенням:

 

I	V	X	L	C	D	M

 

Наприклад: ІІІ – 3, LIX – 59, DLV – 555.

Недоліком непозиційної системи є відсутність нуля та формальних правил запису чисел і відповідно арифметичних дій з ними.

 

Таблиця 1.2 – Позиційні системи числення

 

	0 0 0 0
	0 0 0 1
	0 0 1 0
	0 0 1 1
	0 1 0 0
	0 1 0 1
	0 1 1 0
	0 1 1 1
	1 0 0 0
	1 0 0 1
	1 0 1 0	A
	1 0 1 1	B
	1 1 0 0	C
	1 1 0 1	D
	1 1 1 0	E
	1 1 1 1	F

 

Перевагою двійкової системи є:

– простота виконання арифметичних операцій;

– наявність надійних мікроелектронних схем з двома стійкими станами (тригерів), призначених для зберігання значень двійкового розряду – цифр 0 або 1.

Двійкові цифри називають також бітами. Назву БІТ у 1946 році запропонував видатний американський вчений статистик Джон Тюкі.

Система числення повинна забезпечувати:

– можливість представлення будь-якого числа в заданому діапазоні;

– однозначність, стислість запису числа і простоту виконання арифметичних операцій;

– досягнення високої швидкодії машини в процесі оброблення інформації.

 

Число в позиційній системі можна представити поліномом:

,

де – основа системи числення;

– вага позиції;

– цифри в позиціях числа;

– номери розрядів цілої частини числа;

– номери розрядів дробової частини числа.

Позиційні системи з однаковою основою в кожному розряді називають однорідними.

 

Приклади запису чисел:

– двійкова система: ; ,

;

– вісімкова система: ; ,

;

– шістнадцяткова система: ; ,

.