Математичні операції в СЗК

Розглянемо правила виконання операцій додавання і множення в СЗК при умові, що обидва числа і результат операції знаходяться в діапазоні .

Нехай операнди А і В представлені відповідно залишками і по модулю при

Результат операцій додавання і множення і представлені відповідними залишками і по тих же модулях , тобто

,

,

,

,

і при цьому мають місце співвідношення:

, , , .

Припускається, що дорівнює по модулю , а дорівнює також по модулю .

,

.

При цьому в якості цифри результату береться відповідно

(10)

. (11)

Отже, можна записати для додавання

,

для

 

 

Для множення

.

 

Приклад: нехай основою системи є , , .

Діапазон представлення чисел за допомогою вибраних модулів визначається, як =105.

 

Приклад. Додати числа А=17 і В=63. Переведемо числа А і В в систему залишкових класів по заданих модулях

,

.

В відповідності з (2.10) отримаємо

.

Легко перевірити, що число в десятковій системі числення є 80 і дорівнює сумі операндів.

 

Приклад. Помножити число А=17 на число В=6.

В СЗК числа А і В будуть представлені як

 

.

 

В відповідності з (11) отримаємо .

Легко перевірити, що число в СЗК дорівнює десятковому числу 102 в десятковій системі числення і рівне добутку операндів.

Правила виконання операції віднімання в СЗК в випадку, якщо два числа і результат операції знаходяться в діапазоні .

Нехай операнди А і В представлені відповідними залишками і по модулях при

Результат операції віднімання А-В представлений відповідними залишками по тих же модулях .

Тобто

,

,

,

і при цьому виконуються умови:

, , .

Аналогічно з (10) отримаємо вираз для віднімання

 

,

,

Операція віднімання в тих випадках, коли її результат додатній, виконується відніманням відповідних цифр розрядів, при цьому завжди в результаті приводиться найменший додатній залишок, так як це випливає із визначення СЗК. Якщо різниця цифр від’ємна, то береться її доповнення до відповідного модуля.

Тобто

 

Приклад. Виконати віднімання двох чисел в СЗК. С=А-В.

,

,

.

.

В результаті послідовного застосування прямого та зворотного перетворень для цілочисельної форми СЗК отримаємо вихідне число в позиційній системі числення.

Представлення даних в системі залишкових класів дає змогу здійснювати розпаралелювання обробки інформації без значного ускладнення обчислювальних засобів. Використання СЗК спрощує побудову систем збору інформації, а також дозволяє вирішувати клас задач, що є невизначеними в позиційних системах числення. Особливістю СЗК залишається простота реалізації прямого та зворотного перетворень.

 

 

Контрольні запитання

1. Назвіть переваги та недоліки СЗК?

2. Переведіть задані числа з десяткової СЧ в СЗК.

3. Переведіть задані числа з СЗК в десяткову СЧ.

4. Виконайте арифметичні операції в СЗК.