Свойства степенных функций и их графики

· Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0

Если показатель степенной функции y = x ^p равен нулю, p = 0, то степенная функция определена для всех x ≠ 0 и является постоянной, равной единице:
y = x ^p = x ⁰ = 1, x ≠ 0.

· Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5,...

Рассмотрим степенную функцию y = x ^p = x ⁿ с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5,.... Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1, где k = 0, 1, 2, 3,... – целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.

График степенной функции y = x ⁿ с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5,....

Область определения: –∞ < x < ∞;
Множество значений: –∞ < y < ∞;
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при –∞ < x < 0 выпукла вверх
при 0 < x < ∞; выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Частные значения:
при x = –1,
y(–1) = (–1) ⁿ ≡ (–1) ^2m+1 = –1
при x = 0, y(0) = 0 ⁿ = 0
при x = 1, y(1) = 1 ⁿ = 1

 

· Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6,...

Рассмотрим степенную функцию y = x ^p = x ⁿ с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6,.... Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k, где k = 1, 2, 3,... – натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.

График степенной функции y = x ⁿ с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степениn = 2, 4, 6,....

Область определения: –∞ < x < ∞;
Множество значений: 0 ≤ y < ∞;
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 монотонно убывает
при x > 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум, x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) ⁿ ≡ (–1) ^2m = 1
при x = 0, y(0) = 0 ⁿ = 0
при x = 1, y(1) = 1 ⁿ = 1

 

· Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3,...

Рассмотрим степенную функцию y = x ^p = x ⁿ с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3,.... Если положить n = –k, где k = 1, 2, 3,... – натуральное, то ее можно представить в виде:

График степенной функции y = x ⁿ с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3,....

Нечетный показатель, n = -1, -3, -5,...

Ниже представлены свойства функции y = x ⁿ с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5,....

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x < 0: выпукла вверх
при x > 0: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) ⁿ = –1
при x = 1, y(1) = 1 ⁿ = 1

 

Четный показатель, n = -2, -4, -6,...

Ниже представлены свойства функции y = x ⁿ с четным отрицательным

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0: монотонно возрастает
при x > 0: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) ⁿ = 1
при x = 1, y(1) = 1 ⁿ = 1

Билет№7 Логарифмическая функция

 

Функцию вида y = log_a(x), где a любое положительное число не равное единице, называют логарифмической функцией с основанием а.

 

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться множество положительных вещественных чисел.

2. Областью значения логарифмической функции будет являться множество вещественных чисел.

3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции возрастает

4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при x>1, и отрицательной при 0<х<1.

6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при х>1, и положительной при 0<x<1:

На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции - (0<a<1):

7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вида.

8. Функция не имеет точек максимума и минимума.

Билет №8: Показательная функция (свойства, график).

Показательная функция - функция вида , a 0, а 0.

ü Графики функций:

х         -1 -2 -3 у         (Рис.1)

х       -1 -2 у       (Рис.2)

ü Свойства функции

1) Обл. опред. = (

2) Обл. знач. = (

3) Не обладает св-ми четности, нечетности

4) Функц. является возрастающей на R, если а

Функц. является убывающей на R, если 0

5) У=0 (Ох) - является асимптотой графика

6) Функц. Не имеет наиб.\наим. Значений

7) Функция ограничена снизу

Билет №9: Тригонометрические функции ( )

1)

Х R, у=

- нечетность функции

) =

Определение: Функция у=f(x) называется периодической с периодом Т. Т , если для любого х выполняется равенство: f(x - T)=f(x)=f(x+T)

Синусоида:

x					2
у				-1

ü Свойства:

1) Обл.опред. - х

2) у

3) нечетная

4) периодическая, Т=2

5) возрастает

убывает

6) у , если х (2 ; )

у , если х (-

у=0, если х=

7) ограничена снизу и сверху

8) непрерывна

 

Ø у=

Косинусоида:

x					2
			-1

ü Свойства:

1) х R

2) у=

3) четная

4) периодическая Т=2π - наим.положит. период

5) возрастает

убывает

6) у (- +2πk; +2πk)

у (

у=0, х πk, k

7) ограничена сверху и снизу

8) непрерывна

 

Ø у= tg x

 

x
у

 

tg=(-x)=-tgx

 

ü Свойства:

1) Х +πk, z
y (-

2) Нечетная

3) Т= π

4) Возрастает (- + πk; + πk)

5) У х (πk; πk)

у , х (- + πk; πk)

у=0, х= πr

6) не ограничена ни сверху, ни снизу

7) непрерывна на промежутках вида (- + πk; + πk)

 

Билет №10: Определение логарифма. Свойства логарифмов (логарифм произведения, частного, степени, формула перехода с выводом).

Логарифмом положительного числа b по основанию а, называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b. =x = b, при а

ЕСЛИ ЧТО, Х – ЭТО УМНОЖИТЬ

ü Свойства логарифмов:

Логарифм произведения:

· , b

Вывод: = b

= c

Перемножим эти 2 равенства:

X = b Х с

= b Х с

+ =

Логарифм частного:

· = - , b

Вывод:: = b

= c

Разделим первое равенство на второе:

: = b:c

= b:c

- =

Логарифм степени:

· = m , если m - четная, то

· =

Формула перехода от первого основания к другому:

· =

 

Билет №11: Десятичные и натуральные логарифмы.

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию е, где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2,7. Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x), log _e (x) или иногда просто log(x), если основание e подразумевается.

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа b есть решение уравнения =b

Десятичный логарифм числа b существует, если b Принято обозначать его . Примеры:

;

 

Билет №12: Определение sin, cos, tg, ctg угла.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: =

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему:

Билет №13: Зависимость между sin, cos, tg, ctg одного и того же угла.

· + 1

· =1

· 1+ =

· 1+ =

 

Билет№14: Формулы сложения.

· cos(х +у) = cosу cosх sinх sinу

· cos(х - у) = cosу cosx + sinх sinу

· sin(х + у) = sinх cosу + cosх sinу

· sin(х - у) = sinх cosу - cosх sinу

·

·

 

Билет №15 «Формулы двойного угла c выводом»

1) Для синуса:

Sin(x+y)=sinx·cosy+cosx·siny
пусть y=x
sin(x+x)=sinx·cosx+cosx·sinx

Sin2x=2sinx·cosx

2) Для косинуса:

Cos(x+y)=cosx·cosy-sinx·siny
пусть y=x
cos(x+x)=cosx·cosx-sinx·sinx

Cos2x= x- x

3) Для тангенса:

Tg(x+y)=
пусть y=x

Tg(x+x)=

Tg2x=

 

Билет №16 «Формулы приведения с выводом»

1) Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержитя выражение π+t, π-t, 2π+t или 2π-t, то наименование тригонометрической функции следует сохранить.

2) Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится выражение , , или , то наименование тригонометрической функции следует изменить на родственное (синус – на косинус, косинус – на синус, тангенс – на котангенс, котангенс – на тангенс).

3) Перед полученной функцией от аргумента t надо поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0<t<

 

Примеры:

Sin( =-sint

Cos( =-cost

Sin =cost

cos =-sint

tg( =tgt

ctg( =ctgt

 

Билет №17 «Сумма и разность sin (cos) с выводом»

1) Sint + sins = 2sin cos

Sin(x+y)=sinx·cosy+cosx·siny

+

Sin(x-y)= sinx·cosy-cosx·siny

Sin(x+y) + Sin(x-y)=2sinxcosy

Пусть х+у=t, x-y=S à x= , y=

2) sint – sins=2sin cos

Sin(x+y)=sinx·cosy+cosx·siny

-

Sin(x-y)= sinx·cosy-cosx·siny

Sin(x+y)-Sin(x-y)=2cosx·siny

Пусть х+у=t, x-y=S à x= , y=

3) cost + cosS = 2cos · cos

Cos(x+y)=cosу cosх sinх sinу

+

Cos(x-y)= cosу cosx + sinх sinу

Cos(x+y)+cos(x-y)=2cosycosx

Пусть х+у=t, x-y=S à x= , y=

4) cost - cosS = 2sin · sin

Cos(x+y)=cosу cosх sinх sinу

-

Cos(x-y)= cosу cosx + sinх sinу

Cos(x+y)-cos(x-y)= -2sinysinx

Пусть х+у=t, x-y=S à x= , y=

Билет №18 «Радианная и градусная мера угла»

Угол в 1˚ - это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую части окружности.

 

Угол в 1 радиан – это центральный угол, опирающийся в единичной окружности на дугу длиной 1, а в окружности произвольного размера – на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

1 рад = 57,3˚

 

1˚= рад

 

1 рад =

 

Примеры:

1) 35˚ = ·35 = рад

2) рад = · = 120˚

Билет № 19 «Решение уравнений cos, sin, tg (arccos, arcsin, arctg числа)»

Уравнение cos x = a.

Принцип:

arccos a = x. Следовательно, cos x = a. Условия: модуль а не больше 1; x не меньше 0, но не больше π (| a | ≤ 1; 0 ≤ x ≤ π)

 

Формулы:

x = ± arccos a + 2πk, где k – любое целое число arccos (- a) = π – arccos a, где 0 ≤ a ≤ 1

 

 

Уравнение sin x = a.

Принцип:

arcsin a = x, следовательноsin x = a. Условия: модуль а не больше 1; x в отрезке [-π/2; π/2] (| a | ≤ 1; –π/2 ≤ x ≤ π/2)