Теорема 4.1 (существование обратной функции)

Теорема 4.1 (существование обратной функции)

Если функция y=f(x) возрастает (убывает) на множестве Х={х}, то на соответствующем множестве У={y} существует однозначная обратная функция х= (у), также возрастающая (убывающая).

§5. Предел функции

п. 1. Предел функции при х → х₀

Пусть функция у = f(x) определена на некотором множестве Х и точка х₀ является предельной точкой этого множества, т.е. в окрестности точки х₀ содержатся точки множества х, отличные от х₀. Точка х₀ может принадлежать множеству Х или не принадлежать ему => функция у = f(x) определена в точке х₀, либо не определена. Например, если х = (а, в) и х = [а;b], то точки а и в – предельные и в первом случае они не принадлежат множеству х, а во втором – принадлежат.

Возьмем из Х последовательность точек, отличных от х₀: х₁, …, х_n, …(1),

сходящуюся к х₀. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность f(х₁), f(х₂), …, f(х_n) (2),

по отношению к которой можно ставить вопрос о существовании предела.

Опр. 5.1 (по Гейне) Число А называется пределом функции f(x) при х = х₀

(х → х₀), если для любой сходящейся к х₀ последовательности (1) значений аргумента х ≠ х₀, соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу А (f(x) → А при х→ х₀)

Функция f(x) может иметь в точке х₀ только один предел. Это следует из того, что последовательность {f(х_n)} имеет только один предел.

Опр. 5.2 (по Коши) Число А называется пределом функции f(x) в точке

х = х₀, если для , такое, что для всех , х ≠ х₀, удовлетворяющих неравенству | х - х₀ | < , выполняется неравенство |f(x) – A| <

Так как неравенство, |f(x) – A| < <=> , то

Опр. 5.3. (ε-δ окрестности): Число А называется пределом функции f(x) в точке х = х₀, если для - окрестности точки А найдется такие - окрестности точки х₀, что для соответствующие значения f(x) принадлежат окрестности .

Теорема 5.1. Определение предела функции по Гейне и по Коши эквивалентно.

 

П-2. Предел функции при х → х₀ – 0 и при х → х₀ + 0 (односторонние пределы).

Опр.5.4 Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке х₀, если для сходящихся к х₀ последовательности (1), элементы которой больше (меньше) х₀, соответствующая последовательность (2) сходится к А.

Правый и левый пределы называются односторонними пределами функции в точке.

 

Опр. 5.5 (ε – δ) число А называется правым (левым пределом) функции f(x) в точке х₀, если () выполняется

.

Теорема 5.2 Функция f(x) имеет предел в точке х₀ <=> когда в этой точке как правый, так и левый предел, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

п. 3. Предел функции при х → ∞, х → – ∞, х → + ∞.

Опр. 5.6 Число А называется пределом функции f(x) при х → ∞, если для б.б. последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к А.

Опр. 5.7 Число А называется пределом функции f(x) при х → + ∞ (– ∞), если для б.б. последовательности значений аргумента, элементы x_n, которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Опр.5.8 Число А называется пределом функции f(x) при х → + ∞, если , (х > δ => )

 

п.4. Теории о пределах функции

Теорема 5.3 Если функции f(x) и g(x) имеют в точке х₀ пределы А и В, т.е.

,

1)

2)

3)

4) , если В ≠ 0.

Теорема 5.4: Пусть функции определены в некоторой окрестности точки х₀, за исключением, быть может, самой точки х₀, и функции f(x), h(x) имеют в точке х₀ предел, равный А, т.е. Пусть, кроме того, выполняются неравенства Тогда .

Теоремы 5.3. и 5.4. верны также и в случае х₀=+∞, -∞, ∞.

 

П-5. Замечательные пределы

Первый замечательный предел