Второй замечательный предел. Известно, что . Докажем, что .

Известно, что . Докажем, что .

П- 6. Б.б. и б.м. функции

Опр. 5.9. Функция называется б.м. в точке х=х₀ , если

Аналогично определяется б.м. функции при

Теорема 5.6: Для того, чтобы число А было пределом функции f(x) в точке x₀ , чтобы выполнялось равенство f(x)=A+α(x), где α(x)-б.м. при x→ x₀

Опр. 5.10 Функция называется б.б. в т. x= x₀ (x → x₀), если ∀М >0 ∃ δ>0

∀x ∈ X 0<|x- x₀|<δ => |f(x)|>M. Тогда .

Если же f(x)>M, тогда .

f(x)<-M, тогда .

Между б.м. и б.б. функциями существует аналогичная связь, как и между соответствующими последовательностями, т.е. если f(x) – б.б. при x→ x_0, то - б.м., при x→ x₀ и наоборот.

Если и β(x) – б.м. при x→ x₀ , то называется неопределенностью типа . Если и β(x) – б.б. при x→ x₀ , то называется неопределенностью типа , - β(x)= Аналогично вводятся неопределенности 0, , , , Раскрыть неопределенность – значит найти предел соответствующего выражения(если он существует), что зависит от конкретных функций, входящих в выражение.

Рассмотрим правила сравнения б.м. функций _ и β(x) – б.м. при x→ x₀ . Тогда:

1) Если =А , то функции и β(x) называются б.м. одного порядка.

2) Если =1, то функции и β(x) называются эквивалентными б.м.

3) Если =0, то функция называется б.м. более высокого порядка малости, чем β(x).

4) =А , то функция называется б.м. n-го порядка относительно β(x).

Теорема 5.7: Если при и ∃ то причем .

Док-ть:

 

 

§6. Непрерывность функции в точке х₀

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀