Задача № 2. Методы сглаживания временных рядов.

Методы сглаживания временных рядов.

По данным об урожайности (табл. 1) за 16 лет рассчитайте: трех-, семилетние скользящие средние и графически сравните результаты; пятилетнюю взвешенную скользящую среднюю.

Таблица1. Урожайность пшеницы, ц/га

t
yt	10,3	14,3	7,7	15,8	14,4	16,7	15,3	20,2
t
yt	17,1	7,7	15,3	16,3	19,9	14,4	18,7	20,7

 

Решение:

1. Результаты расчетов представлены в табл.2.

Таблица 2. Расчет скользящих средних

t	yt	i=3	i=7	i=5
	10,3	-	-	-
	14,3	10,8	-	-
	7,7	12,6	-	11,9
	15,8	12,6	13,5	12,6
	14,4	15,6	14,9	16,2
	16,7	15,5	15,3	15,2
	15,3	17,4	15,3	17,4
	20,2	17,5	15,2	18,8
	17,1	15,0	15,5	15,2
	7,7	13,4	16,0	11,7
	15,3	13,1	15,8	12,5
	16,3	17,2	15,6	18,1
	19,9	16,9	16,1	17,3
	14,4	17,7	-	17,3
	18,7	17,9	-	-
	20,7	-	-	-

 

 

При трехлетней скользящей средней (i=3)

и т.д.

При семилетней скользящей средней (i=7)

и т.д.

2. Для вычисления значений пятилетней взвешенной скользящей средней воспользуемся таблицей 1. Тогда

И т.д.

Задача № 3,

Пусть сглаживание осуществляется по пятичленной скользящей средней (I=5), причем аппроксимация осуществляется квадратичным полиномом (m=2). Требуется определить весовые коэффициенты для восстановления двух последних уровней рада.

Решение:

Осуществим перенос начала координат в середину активного участка:

t=-2;-1;0;+1;+2;

После этого система нормальных уравнений примет вид:

(1.8.53)

Из первого и третьего уравнений определим выражение для коэффициента a₀:

или в символической записи

Выразим теперь остальные неизвестные параметры из системы уравнений (1.8.54):

s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Полученные выражения для коэффициентов a₀,a₁,a₂, подставим в уравнение сглаживающего квадратического полинома:

Последовательно подставляя в это выражение t=1;2, получим весовые коэффициенты для восстановления последних уровней ряда:

- при t=l (восстановление предпоследнего уровня ряда)

-при t=2(восстановление последнего уровня ряда)

Если последними пятью уровнями ряда были 0; 1; 4; 9; 16, то восстановление двух последних значений осуществлялось бы следующим образом:

- при t=1

-при t=2