Корреляционный анализ

Различают:

· парную корреляцию – это зависимость между результативным и факторным признаком;

· частную корреляцию – это зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков;

· множественную – многофакторное влияние в статической модели .

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции, который рассчитывается по одной из формул:

(5.16)

. (5.17)

Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение r	Характер связи	Интерпретация связи
r = 0	Отсутствует	Изменение x не влияет на изменения y
0 < r < 1	Прямая	С увеличением x увеличивается y
-1 > r > 0	Обратная	С увеличением x уменьшается y и наоборот
r = 1	Функциональная	Каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного

 

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t- критерия Стьюдента. Для этого определяется фактическое значение критерия :

, (5.18)

Вычисленное по формуле (6.18) значение сравнивается с критическим , который получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы ν. Коэффициент корреляции считается статистически значимым, если t _расч превышает : t _расч > .

Универсальным показателем тесноты связи является теоретическое корреляционное отношение:

, (5.19)

где – общая дисперсия эмпирических значений y, характеризует вариацию результативного признака за счет всех факторов, включая х;

– факторная дисперсия теоретических значений результативного признака, отражает влияние фактора х на вариацию у;

– остаточная дисперсия эмпирических значений результативного признака, отражает влияние на вариацию у всех остальных факторов кроме х.

По правилу сложения дисперсий:

, т.е. . (5.19)

Оценка связи на основе теоретического корреляционного отношения (шкала Чеддока)

Значение	Характер связи		Значение	Характер связи
η = 0	Отсутствует		0,5 ≤ η < 0,7	Заметная
0 < η < 0,2	Очень слабая		0,7 ≤ η < 0,9	Сильная
0,2 ≤ η < 0,3	Слабая		0,9 ≤ η < 1	Весьма сильная
0,3 ≤ η < 0,5	Умеренная		η = 1	Функциональная

Для линейной зависимости теоретическое корреляционное отношение тождественно линейному коэффициенту корреляции, т.е. η = | r|.

Множественный коэффициент корреляции в случае зависимости результативного признака от двух факторов вычисляется по формуле:

,(5.20)

где – парные коэффициенты корреляции между признаками.

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: .

Значимость коэффициента множественной детерминации, а соответственно и адекватность всей модели и правильность выбора формы связи можно проверить с помощью критерия Фишера:

, (5.21)

где R ² – коэффициент множественной детерминации (R ² );

k – число факторных признаков, включенных в уравнение регрессии.

 

Связь считается существенной, если F _расч > F _табл – табличного значения F- критерия для заданного уровня значимости α и числе степеней свободы ν₁ = k,ν₂ = n – k – 1.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи результативного признака и фактора, при элиминировании его взаимосвязи с остальными факторами, включенными в анализ. Расчет частных коэффициентов корреляции в случае двухфакторной регрессии (в первом случае исключено влияние факторного признака х ₂, во втором – х ₁):

; , (5.22)

где r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

Для оценки сравнительной силы влияния факторов, по каждому фактору рассчитывают частные коэффициенты эластичности:

, (5.23)

где – среднее значение соответствующего факторного признака;

– среднее значение результативного признака;

– коэффициент регрессии при i -м факторном признаке.

Данный коэффициент показывает, на сколько процентов следует ожидать изменения результативного показателя при изменении фактора на 1% и неизменном значении других факторов.

Частный коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией i -го признака, входящего в множественное уравнение регрессии, рассчитывается по формуле:

, (5.24)

где – парный коэффициент корреляции между результативным и i -м факторным признаком;

– соответствующий стандартизованный коэффициент уравнения множественной регрессии:

. (5.25)

Пример 1.

По данным о стоимости основных производственных фондов (С_ОПФ) и объеме валовой продукции (ВП) определить линейное уравнение связи.

Номер предприятия	СОПФ (), млн. руб.	ВП (y), млн. руб.		2	2
						19,4	0,36	20,25
								12,25
						30,6	0,16	6,25
						36,2	27,04	2,25
						41,8	3,24	0,25
						47,4	73,96	0,25
								2,25
						58,6	1,96	6,25
						64,2	17,64	12,25
						69,8	0,04	20,25
Сумма							125,4	82,5
Среднее	5,5	44,5	290,7	38,5	2248,7	44,5

;

.

Уравнение регрессии имеет вид:

.

Следовательно, с увеличением стоимости основных фондов на 1 млн.руб. объем валовой продукции увеличивается в среднем на 5,6 млн. руб.

Проверим значимость полученных коэффициентов регрессии. Рассчитаем и :

для параметра а ₀:

для параметра а ₁: .

По таблице Стьюдента с учетом уровня значимости =5% и числа степеней свободы ν =10-1-1=8 получаем =2,306.

Фактические значения и превышают табличное критическое значение . Это позволяет признать вычисленные коэффициенты корреляции типичными.

Пример2. По данным предыдущего примера оценить тесноту связи между признаками, оценить значимость найденного коэффициента корреляции.

, или .

Значение коэффициента корреляции свидетельствует о сильной прямой связи между рассматриваемыми признаками.

Значение t _расч превышает найденное по таблице значение =2.306, что позволяет сделать вывод о значимости рассчитанного коэффициента корреляции.

 

Пример3. Имеются некоторые данные о среднегодовой стоимости ОПФ (С_ОПФ), уровне затрат на реализацию продукции (З_РП) и стоимости реализованной продукции (РП). Считая зависимость между этими показателями линейной, определить уравнение связи; вычислить множественный и частные коэффициенты корреляции, оценить значимость модели.

СОПФ (х 1), млн.руб.	ЗРП (х 2), в % к РП	РП (y), млн.руб.			х 1 х 2	х 1 y	х 2 y
								20,36
								20,05
								24,21
								26,91
								30,54
								29,08
								33,24
								35,01
								36,25
								38,33
S = 66	S = 90	S = 294	S = 490	S = 1018	S = 688	S = 2078	S = 2880	S = 294
=6,6	=9,0	=29,4	–	–	=68,8	=207,8	=288,0	–

Решение. Составим систему нормальных уравнений МНК:

Выразим из 1-го уравнения системы a ₀ = 29,4 – 6,6· a ₁ – 9· a ₂.

Подставив во 2-е уравнение это выражение, получим:

.

Далее подставляем в 3-е уравнение вместо a ₀ и a ₁ полученные выражения и решаем его относительно a ₂ с точностью не менее 3-х знаков после запятой. Итак:

a ₀ = 12,508; a ₁ = 2,672; a ₂ = – 0,082; = 12,508 + 2,672· х ₁ – 0,082· х ₂.

= = 0,884;

= = 0,777;

= = 0,893;

=0,893.

Проверим значимость r (α = 0,01 и ν = 7):

= 5,00; = 3,27.

=5,00 > t _табл=3,50 – коэффициент корреляции x ₁ значим;

=3,27 < t _табл=3,50 – коэффициент корреляции x ₂ не значим.

Произведенные расчеты подтверждают условие включения факторных признаков в регрессионную модель – между результативным и факторными признаками существует тесная связь ( = 0,884; = 0,777), однако между факторными признаками достаточно существенная связь ( = 0,893). Включение в модель фактора x ₂ незначительно увеличивает коэффициент корреляции ( = 0,884; =0,893), поэтому включение в модель фактора x ₂ нецелесообразно.

Вычислим стандартизованные коэффициенты уравнения множественной регрессии:

Отсюда вычислим частные коэффициенты детерминации: