Прямая линия на плоскости

⇐ Предыдущая 12

Общее уравнение прямой на плоскости:

Ах + В у + С = 0.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис. 3):

у = k x + b. (6)

Уравнение вертикальной прямой (рис. 3):

х = а. (7)

Уравнения прямых, проходящих через одну заданную точку М (х ₀; у ₀) (уравнение пучка прямых):

у – y ₀ = k (x – x ₀). (8)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А (х ₁; у ₁) и В (х ₂; у ₂):

. (9)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

. (10)

Пусть на плоскости заданы две прямые, которым соответствуют уравнения с угловыми коэффициентами: у = k ₁ x + b ₁и у = k ₂ x + b ₂.

Условие параллельности прямых на плоскости:

k ₁ = k ₂._.(11)

Условие перпендикулярности прямых:

. (12)

Если одна из двух перпендикулярных прямых вертикальная, т.е. k ₂ не существует, то k ₁ = 0 и обратно: если k ₂ = 0, то k ₁не существует.

Тангенс острого угла между пересекающимися прямыми можно найти, используя формулу:

, (13)

откуда . Если одна из прямых вертикальная, т.е. k ₂ не существует, то .

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы по теме

«Аналитическая геометрия»

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС:

А (–3; –1), В (4; 6), С (8; –2).

Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В;

4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

Задача 2. Даны координаты точки А (3; 0), уравнение прямой l: 3 x = 4 и число λ; = 3: 2.

Найти уравнение траектории точки М, которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояний до точки А и до прямой l равно λ;. Сделать чертеж в системе координат.

Решение задачи 1.

1) Вычислим длину стороны ВС по формуле (1):

| BС |= =

2) Составим уравнение стороны ВС, используя формулу (10):

y = –2 x + 14 – уравнение ВС.

3) Внутренний угол треугольника при вершине В найдем как угол между прямыми ВА и ВС. Для этого сначала вычислим угловой коэффициент прямой ВА по формуле (9):

и возьмем из уравнения ВС угловой коэффициент прямой ВС: .

Из расположения точек A, B, C на координатной плоскости видно, что угол В в треугольнике ABC – острый, поэтому по формуле (13) вычислим

4) Для получения уравнения высоты АK, проведенной из вершины А, используем уравнение пучка прямых (8) и условие перпендикулярности прямых (12). Сначала вычислим угловой коэффициент прямой АK. Так как , то .

Уравнение AK получим по формуле (8):

у – у_А= k_AK (x – x _A) у – (–1) = (x – (–3))

x –2 y + 1 = 0 – уравнение AK.

5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если AМ – медиана треугольника и P – точка пересечения его медиан, то P делит AМ в отношении 2: 1, начиная от точки А, т.е. .

Основание медианы AМ – точка М является серединой отрезка ВС. Найдем координаты точки М по формулам (3):

М (6; 2).

Теперь, когда координаты концов отрезка AМ известны, найдем координаты точки P, которая делит AМ в отношении = 2, начиная от точки А, по формулам деления отрезка в заданном отношении (2):

P (3; 1) – центр тяжести треугольника АВС.

6) Построим чертеж к задаче в системе координат ХОY (рис. 11). Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу.

Ответы:

1) длина стороны | BС | = ;

2) уравнение стороны ВС: y = –2 x + 14;

3) угол при вершине В: ;

4) уравнение высоты АK: x –2 y + 1 = 0;

5) координаты центра тяжести треугольника P (3; 1);

6) чертеж на рис. 11.

Варианты контрольной работы по теме

«Аналитическая геометрия»

Каждый вариант КР содержит 4 задачи, охватывающих материал по теме «Аналитическая геометрия».

Перед выполнением КР необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии с методическими указаниями, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы. Задачи 1 и 3 являются частными случаями полностью разобранных задач 2 и 4.

Cтуденту следует выбрать из условия каждой задачи данные, необходимые для ее решения, в соответствии со своим вариантом. Оформление КР должно соответствовать установленным правилам и требованиям. Необходимые чертежи должны выполняться четко, с соответствующими подписями и комментариями (см. образец выполнения примерного варианта работы).

Варианты КР №1

ВАРИАНТ 1

1. Даны три вершины трапеции (): А(-3,-3), В(-2,1), С(1,2). Составить уравнение и длину высоты, проведенной из точки B на AD.

2. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(–3;–1), В(4;6),С(8;–2). Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В; 4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

3. Составить уравнения прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно векторам и .

4. Заданы координаты точек– вершин пирамиды ABCD: А(6;5;8), В(3;5;8), С(8;4;1), Д(7;7;3). Требуется: 1)вычислить длину ребра AB; 2)найти уравнение плоскости грани ABC; 3)найти угол между гранями ABC и BCD; 4)составить параметрические уравнения стороны AB; 5)составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D; 6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC; 7)найти угол между ребрами AB и BC; 8) найти угол между ребром AD и плоскостью ABC; 9)сделать чертеж пирамиды в системе координат.

ВАРИАНТ 2

1. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А(-3,-2), В(-2,1), С(1,2). Составить уравнение и длину высоты, проведенной из точки B на AD.

Даны вершины треугольника: А(-3,2), В(4, -1), С(8,-7). Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В; 4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.
Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(3,- 2,-1) параллельно вектору .
Заданы координаты точек– вершин пирамиды ABCD: М(2,-1,0), А(3,-1,2), В(4,-1,-1), С(2,0,2). Требуется: 1)вычислить длину ребра AB; 2)найти уравнение плоскости грани ABC; 3)найти угол между гранями ABC и BCD; 4)составить параметрические уравнения стороны AB; 5)составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D; 6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC; 7)найти угол между ребрами AB и BC; 8) найти угол между ребром AD и плоскостью ABC; 9)сделать чертеж пирамиды в системе координат.

ВАРИАНТ 3

1) Даны вершины треугольника: А(1,3), В(5, 1), С(-3,-1). Найти уравнение средней линии треугольника и расстояние от вершины A до MN.

2) Даны координаты вершин треугольника АВС: А(–3;–2), В(4;3),С(8;6). Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В; 4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

3) Найти точку пересечения прямой L: с плоскостью y + 5z + 1 = 0.

4) Заданы координаты точек–вершин пирамиды ABCD: А(4,10,9), В(5,7,4), С(5,2,6), Д(1,8,2). Требуется: 1)вычислить длину ребра AB; 2)найти уравнение плоскости грани ABC; 3)найти угол между гранями ABC и BCD; 4)составить параметрические уравнения стороны AB; 5)составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D; 6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC; 7)найти угол между ребрами AB и BC; 8) найти угол между ребром AD и плоскостью ABC; 9)сделать чертеж пирамиды в системе координат.

ВАРИАНТ 4

1) Даны три вершины параллелограмма: А(-4,1), В(-2, -1), С(2,-1). Найти уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А на CD если .

2) Даны координаты вершин треугольника АВС: А(1;–2), В(4;3),С(5;2). Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В; 4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

3) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку K(2,3,-1) параллельно векторам и .

4) Даны 4 точки: М(2,0,-1), А(2,-1,1), В(0,-7,4), С(5,2,-2). Требуется: 1)вычислить длину ребра AB; 2)найти уравнение плоскости грани ABC; 3)найти угол между гранями ABC и BCD; 4)составить параметрические уравнения стороны AB; 5)составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D; 6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC; 7)найти угол между ребрами AB и BC; 8) найти угол между ребром AD и плоскостью ABC; 9)сделать чертеж пирамиды в системе координат.

ВАРИАНТ 5

1. Даны три вершины треугольника: А(-1, -3), В(4, 2), С(4,-4). Найти точку пересечения высоты треугольника Р и ее расстояние до АВ.

2. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(1;–2), В(4;3),С(5;2). Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС;

3) найти внутренний угол треугольника при вершине В; 4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

3. Составить геометрическое место точек, равноудаленных от плоскостей x+2y-2z-12=0 и 2x-y+2z-15=0.

4. Заданы координаты точек–вершин пирамиды ABCD: А(3,-1,2), B(4,-1,-1), C(2,0,2), А4(2,-1,0). Требуется: 1)вычислить длину ребра AB; 2)найти уравнение плоскости грани ABC; 3)найти угол между гранями ABC и BCD; 4)составить параметрические уравнения стороны AB; 5)составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D; 6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC; 7)найти угол между ребрами AB и BC; 8) найти угол между ребром AD и плоскостью ABC; 9)сделать чертеж пирамиды в системе координат.

ВАРИАНТ 6

1) Даны вершины треугольника А(1;3), В(5;1), С(-3;-1). Найти уравнение средней линии треугольника (МN // ВС) и расстояние от вершины А до этой линии МN.

2) Даны координаты вершин треугольника АВС: А(1;2), В(-4;3),С(5;-2). Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В; 4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

3) Составить уравнения прямой, проходящей через точку Р(4,-1,3) параллельно вектору .

4) Заданы координаты точек–вершин пирамиды ABCD: А(1,1,0), B(2,0,3), C(0,-1,2), D(2,3,0). Требуется: 1)вычислить длину ребра AB; 2)найти уравнение плоскости грани ABC; 3)найти угол между гранями ABC и BCD; 4)составить параметрические уравнения стороны AB; 5)составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D; 6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC; 7)найти угол между ребрами AB и BC; 8) найти угол между ребром AD и плоскостью ABC; 9)сделать чертеж пирамиды в системе координат.

ВАРИАНТ 7

1) Даны вершины треугольника: А(0,5), В(2,-4), С(-5,2). Найти точку пересечения высоты треугольника и ее медианы СM.

2) Даны координаты вершин треугольника АВС: А(2;2), В(-4;3),С(5;-3). Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В; 4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

3) Составить уравнения биссекторной плоскости, для данных плоскостей:

x+ y + 5z + 1 = 0 и 5x-y+ z+4=0.

4) Заданы координаты точек–вершин пирамиды ABCD: А(0,2,2), B(-1,-2,3),

C(4,5,-2), D(5;4;1). Требуется: 1)вычислить длину ребра AB; 2)найти уравнение плоскости грани ABC; 3)найти угол между гранями ABC и BCD; 4)составить параметрические уравнения стороны AB; 5)составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D; 6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC; 7)найти угол между ребрами AB и BC; 8) найти угол между ребром AD и плоскостью ABC; 9)сделать чертеж пирамиды в системе координат.

ВАРИАНТ 8

1) Даны уравнения сторон параллелограмма ABCD: АВ: x + y = 2, AD: y + 1 = 0 и точка пересечения его диагоналей Р(1,1). Найти уравнения диагоналей параллелограмма.

3) Найти проекцию точки А(2;5;1) на плоскость x+2y-3z-5=0.

ВАРИАНТ 9

1) Даны 3 вершины трапеции А(-3;-3), В(-2;1), С(1;2). Найти уравнение основания АД(АД//ВС) и длину высоты, проведенной из вершины В.

3) Найти угол между прямой АВ и прямой , если А(4;8;0), В(7;8;2).

ВАРИАНТ 10

1) Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника: АВ: x - y = 0,

AС: x - 7y = 1 и точка пересечения медиан Р(2,0). Найти уравнение стороны ВС.

3) Найти угол между прямой АВ и плоскостью x-7y-2z+5=0, если А(1,9,2), В(5,1,4).

ВАРИАНТ 11

1) Даны две вершины ромба: А(-1,-4), В(3,-1) и уравнение его диагонали BD: x + 2y - 1 = 0. Найти вершины ромба С и D.

3) Составить геометрическое место точек, равноудаленных от плоскостей x+2y-2z-18=0 и 2x-y+2z-15=0

4) Заданы координаты точек–вершин пирамиды ABCD: А(1,1,2), B(2,0,3), C(0,-1,2), D(2,3,4). Требуется: 1)вычислить длину ребра AB; 2)найти уравнение плоскости грани ABC; 3)найти угол между гранями ABC и BCD; 4)составить параметрические уравнения стороны AB; 5)составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D; 6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC; 7)найти угол между ребрами AB и BC; 8) найти угол между ребром AD и плоскостью ABC; 9)сделать чертеж пирамиды в системе координат.

ВАРИАНТ 12

1) Даны вершины треугольника: А(1,-1), В(-2,1), C(3,-5). Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки пересечения медиан треугольника на его сторону АВ.

2) Даны координаты вершин треугольника АВС: А(3;2), В(-4;3),С(5;-3). Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В; 4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

3) Вычислить расстояние между плоскостями x+2y-2y-6=0 и 2x+4y-4z-24=0.

4) Заданы координаты точек–вершин пирамиды ABCD: А(-1,1,3), B(2,0,3), C(0,-1,2), D(2,3,0). Требуется: 1)вычислить длину ребра AB; 2)найти уравнение плоскости грани ABC; 3)найти угол между гранями ABC и BCD; 4)составить параметрические уравнения стороны AB; 5)составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D; 6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC; 7)найти угол между ребрами AB и BC; 8) найти угол между ребром AD и плоскостью ABC; 9)сделать чертеж пирамиды в системе координат.

ВАРИАНТ 13

2) Даны координаты вершин треугольника АВС: А(–3;–1), В(4;6),С(8;–2). Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В; 4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

3) Составить уравнения прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно векторам и .

4) Заданы координаты точек– вершин пирамиды ABCD: А(-6;5;2), В(3;5;4), С(8;4;6), Д(7;7;3). Требуется: 1)вычислить длину ребра AB; 2)найти уравнение плоскости грани ABC; 3)найти угол между гранями ABC и BCD; 4)составить параметрические уравнения стороны AB; 5)составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D; 6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC; 7)найти угол между ребрами AB и BC; 8) найти угол между ребром AD и плоскостью ABC; 9)сделать чертеж пирамиды в системе координат.

ВАРИАНТ 14

1) Даны две вершины ромба: А(-1,-5), В(3,-3) и уравнение его диагонали BD: x + 2y - 1 = 0. Найти вершины ромба С и D.

2) Даны координаты вершин треугольника АВС: А(–4;–1), В(4;5),С(8;–3). Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В; 4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

3) Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А(3;4;5) перпендикулярно векторам и .

4) Заданы координаты точек– вершин пирамиды ABCD: А(6;5;8), В(3;5;8), С(8;4;1), Д(7;7;3). Требуется: 1)вычислить длину ребра AB; 2)найти уравнение плоскости грани ABC; 3)найти угол между гранями ABC и BCD; 4)составить параметрические уравнения стороны AB; 5)составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D; 6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC; 7)найти угол между ребрами AB и BC; 8) найти угол между ребром AD и плоскостью ABC; 9)сделать чертеж пирамиды в системе координат.

ВАРИАНТ 15

1) Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника: АВ: x - y = 0, AС: x - 7y = 1 и точка пересечения медиан Р(2,0). Найти уравнение стороны ВС.

3) Составить уравнения прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно векторам и .

ВАРИАНТ 16

1) Даны три вершины трапеции (): А(-3,-3), В(-2,1), С(1,2). Составить уравнение и длину высоты, проведенной из точки B на AD.

3) Составить уравнения прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно векторам и .

4) Заданы координаты точек – вершин пирамиды ABCD: А(-2;-5;8), В(3;4;8), С(8;4;1), Д(7;7;3). Требуется: 1)вычислить длину ребра AB; 2)найти уравнение плоскости грани ABC; 3)найти угол между гранями ABC и BCD; 4)составить параметрические уравнения стороны AB; 5)составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D; 6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC; 7)найти угол между ребрами AB и BC; 8) найти угол между ребром AD и плоскостью ABC; 9)сделать чертеж пирамиды в системе координат.

Вопросы для самопроверки

1. Запишите формулу для вычисления расстояния между двумя точками

2. Запишитеобщее уравнение прямой на плоскости

3. Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом на плоскости

4. Запишите формулу для вычисления углового коэффициента прямой

5. Запишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

6. Запишитеобщее уравнение плоскости

7. Запишите каноническое уравнение прямойв пространстве

8. Запишите формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью

Рекомендуемая литература

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 1998.– 479 с.

⇐ Предыдущая 12

Дата добавления: 2015-12-04; просмотров: 273. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Реформы П.А.Столыпина Сегодня уже никто не сомневается в том, что экономическая политика П...

Виды нарушений опорно-двигательного аппарата у детей В общеупотребительном значении нарушение опорно-двигательного аппарата (ОДА) идентифицируется с нарушениями двигательных функций и определенными органическими поражениями (дефектами)...

Особенности массовой коммуникации Развитие средств связи и информации привело к возникновению явления массовой коммуникации...

Закон Гука при растяжении и сжатии Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия