Окружность
Окружность - простейшая линия второго порядка. Её уравнение было получено ранее как линии, все точки которой равно отстоят от центра.
Это уравнение называется каноническим уравнением окружности.
5.2. Эллипс
Пусть фокусы (точки
Приведем полученное уравнение эллипса к канонической форме.
Положим
Установим форму эллипса исходя из его канонического уравнения. Поскольку обе переменные входят в четной степени, кривая симметрична относительно координатных осей и начала координат. Найдем точки пересечения эллипса с координатными осями. Пусть В качестве характеристики формы эллипса используется При b=a эксцентриситет равен 0, а сам эллипс превращается в окружность.
|
(5.1)
- координаты центра окружности, r радиус окружности.
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, величина постоянная. Пусть точки 
и 
- фокусы эллипса и расстояние между ними равно 2 с. Сумма расстояний от любой точки эллипса обозначим 2 а. 2 а>;2 с → а> с. (См. рис. 5.1.а).
. и пусть точка 
- текущая точка эллипса.
, т.е. 
.
.
. Тогда уравнение принимает вид 
. Разделив обе части уравнения на 
, получим каноническое уравнение эллипса
(5.2)
. Таким образом, точки 
и 
- точки пересечения с осью 0x. Положив x =0. аналогичными операциями получаем точки пересечения эллипса с осью 0y 
и 
. Найденные точки называются вершинами эллипса, а отрезки 
, а также их длины 2 a и 2 b, называются большой и малой осью эллипса. Числа a и b называются большой и малой полуосями. Из уравнения (5.2) следует, что каждое из слагаемых не превосходит единицы. 
, т.е. все точки эллипса лежат внутри прямоугольника со сторонами 
Из уравнения (5.2) следует,что увеличение одной переменной ведет к уменьшению другой. Таким образам эллипс имеет форму, изображенную на рис.5.1.б.
эксцентриситет эллипса.
. Чем ближе значение эксцентриситета к 1, тем эллипс оказывается более сплющенным.
