Вероятностный метод определения страхового запаса

Управление запасами является ключевой активностью, составляющей наиболее важную сферу логистического менеджмента фирмы, как с точки зрения трудоемкости, так и связанных с нею затрат. Для эффективного функционирования логистической системы необходимо создавать страховой запас, предназначенный для элиминирования логистических и финансовых рисков, связанных с непредвиденными колебаниями спроса на готовую продукцию, невыполнением договорных обязательств по поставкам материальных ресурсов, сбоями в производственно-технологических циклах и другими непредвиденными обстоятельствами. Так как в любых запасах замораживаются большие финансовые средства, поэтому определение оптимального уровня страхового запаса является актуальной задачей в логистике.

На логистические системы управления материальными запасами оказывают влияние множество факторов, приводящие к колебаниям параметров системы, которые, таким образом, становятся случайными величинами. Случайной величиной может быть потребление и поступление материальных ресурсов или время выполнения заказа. Поскольку определяющим фактором в моделях управления запасами является спрос, то проведем анализ случайных величин на примере этого фактора.

Пусть спрос на продукцию предприятия или расход материальных ресурсов – случайная величина с математическим ожиданием и конечной дисперсией .

Чтобы избежать дефицита в системе при случайных колебаниях спроса, предприятию необходимо иметь некоторый страховой запас . Для бездефицитной работы логистической системы вероятность того, что спрос за время цикла между поставками не превысит величины, равной сумме оптимального размера заказа и страхового запаса , должна быть достаточно велика. Эту вероятность называют коэффициентом надежности и обозначают через . Обычно требуются, чтобы коэффициент надежности был равен 0,9; 0,95 или 0,99. Иногда удобнее использовать коэффициент риска . То есть, если спрос между двумя последовательными моментами размещения заказа, то размер страхового запаса определяется таким образом, чтобы вероятность истощения запасав в течение цикла не превышала заданной величине

Предположим, что – плотность распределения вероятностей спроса в течение этого срока, а вероятность истощения запаса в течение цикла не должна превышать. Тогда размер страхового запаса определяется из условия следующей формулы:

, (70)

Если распределение спроса подчинена нормальному закону, то функция плотности распределения имеет вид:

, (71)

 

Введем обозначения:

(72)

 

где - среднеквадратическое отклонение случайной величины спроса, рассчитываемое по формуле:

, (73)

где - частота, с которой наблюдается величина спроса

- средняя величина спроса за исследуемый период то есть:

 

, (74)

С учетом этих обозначений функция и плотность вероятности примут вид соответственно:

, (75)

 

. (76)

Задача нахождения оптимально страхового запаса при нормальном распределении вероятностей величины спроса формулируется следующим образом: по заданному значению коэффициента риска найти значение величины , для которого выполняется равенство:

, (77)

Решение этого уравнения относительно по заданному коэффициенту риска находится из таблиц нормального распределения. Поскольку риск будет существовать, то . Учитывая, что , то страховой запас должен быть, по меньшей мере . Таким образом, страховой запас определяется по следующей формуле:

 

, (78)

где определяется по таблице функции Лапласа (приложение В).

При распределении спроса по закону Пуассона функция плотности вероятностей имеет вид:

, (79)

А величина страхового запаса находиться по формуле:

, (80)

где определятся по специальным таблицам теории вероятностей (приложение В).

Для экспоненциального (показательного) распределения с функцией плотности вероятности:

, (81)

А величина страхового запаса находиться по формуле:

 

, (82)

 

Порядок определения страхового запаса:

1) Выдвигается гипотеза о законе распределения случайной величины спроса.

2) Выдвинутую гипотезу нужно либо подтвердит, либо опровергнуть.

Для этого можно воспользоваться критерием Пирсона:

, (83)

где теоретические частоты;

эмпирические частоты.

 

Для нормального закона распределения:

, (84)

где длина шага между соседними значениями спроса; нормированная случайная величина спроса, рассчитываемая по формуле:

(85)

Для распределения Пуассона теоретические частоты вычисляют по формуле:

, (86)

Для экспоненциального распределения:

, (87)

По таблице критических точек распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы определяется критическое значение критерия Пирсона . Количество степеней свободы для нормального распределения ( число интервалов), для пуассоновского и экспоненциального . Если , то выдвинутая гипотеза принимается, в противном случае – отвергается.

3) После выявления закона распределения остается найти величину страхового запаса, т. е. воспользоваться формулами (78) или (80) или (82).

Таким образом, осуществляется определение страхового запаса.

Пример. На фирме для производство готовой продукции А используется сырье (полуфабрикат). Временное отсутствие, которого, приводит к срыву производства продукции, поэтому его дефицит не допустим. Сведения о ежедневной потребности данного сырья представлен в табл. 6.10.

 

Таблица 6.10

Исходные данные

№ периода	Ежедневное потребление	№ периода	Ежедневное потребление	№ периода	Ежедневное потребление	№ периода	Ежедневное потребление	№ периода	Ежедневное потребление

 

Необходимо определить величину страхового запаса, гарантирующего бесперебойное функционирование фирмы с вероятностью =0,95.

Решение. На первом этапе необходимо преобразовать исходную выборку в статистически группированный интервальный ряд. Для этого необходимо выделить десять интервалов. Преобразование исходной выборки в статистически интервальный ряд выполняется в следующем порядке:

1) Определим размах выборки , где максимальное и минимальное значение ежесуточной потребности в материальном ресурсе. Тогда

2) Вычислим величину интервала:

3) Рассчитаем границы интервалов. При этом нижняя граница первого интервала будет равняться минимальному значению группировочного признака (). Для того чтобы найти верхнюю границу этого интервала необходимо нижней границе прибавить величину интервала (). Это будет нижней границей второго интервала. Далее прибавив величину интервала, получим верхнюю границу и т. д.

Далее определяются эмпирические частоты (), как количество группировочного признака в каждом интервале. Для определения среднесуточного расхода материального ресурса и среднеквадратического отклонения расхода вычислим середину интервала, как полусумма границ каждого интервала. Результаты этих и других операции сведены в таблицу 6.11.

Таблица 6.11

Интервальный статистически ряд

№ интервала	Интервал интенсивности потребления	Эмпирические частоты	Середина интервала
	171,0 – 176,9		173,95	869,75	3218,184
	176,9 – 182,8		179,85	1079,10	2274,485
	182,8 – 188,7		185,75	5201,00	5156,057
	188,7 – 194,6		191,65	11307,35	3470,905
	194,6 – 200,5		197,55	12445,65	618,904
	200,5 – 206,4		203,45	14241,50	1193,983
	206,4 – 212,3		209,35	9211,40	4426,440
	212,3 – 218,2		215,25	3444,00	4060,238
	218,2 – 224,1		221,15	1769,20	3812,391
	224,1 – 230,0		227,05	227,05	768,953
	-		-	59796,00	29000,540

На основании этой таблицы по формулам (74) и (73) определим среднесуточный расход материального ресурса и среднеквадратическое отклонение расхода от среднего. Они соответственно равны: ; .Далее выдвигается гипотеза о нормальном законе распределения расхода данного материального ресурса. Выдвинутую гипотезу необходимо подтвердит или опровергнут. Для этого воспользуемся критерием Пирсона (83). Вычисление элементов критерия Пирсона сведем в таблицу 6.12.

Таблица 6.12

Вычисление элементов критерия Пирсона

Номер интервала	Середина интервала	Частота
	173,95		-2,58	0,0143	2,51	2,47
	179,85		-1,98	0,0562	10,12	1,68
	185,75		-1,38	0,1539	27,71	0,00
	191,65		-0,78	0,2943	52,99	0,68
	197,55		-0,18	0,3925	70,67	0,83
	203,45		0,42	0,3653	65,78	0,27
	209,35		1,02	0,2371	42,69	0,04
	215,25		1,62	0,1074	19,34	0,58
	221,15		2,22	0,0339	6,10	0,59
	227,05		2,82	0,0075	1,35	0,09
			-			7,23

 

Примечание. Значение функции плотности вероятностей определяется по таблице (приложение А).

Сравним эмпирические и теоретические частоты. Наблюдаемые значения критерия Пирсона =7,23. Из таблицы критических точек распределения (приложение Б) найдем . Так как < , то предложение о нормальном законе распределения спроса подтвердилось. Страховой запас . Величину находим из таблицы приложение В. Для , =1,96. Итак, . Таким образом, определяется страховой запас для функциональных подсистем логистической системы.