Формула Ньютона-Лейбница
18. Замена переменной в определенном интеграле.
19. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
.1. Вычисление площадей плоских фигур.
у
+ +
0 a - b x
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”. Для нахождения суммарной площади используется формула
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий. 2. Нахождение площади криволинейного сектора.
r = f(j)
b
О a r
Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид r = f(j), где r - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси. Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле
.3. Вычисление длины дуги кривой.
DSi Dyi Dxi
a b x
Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как
|
20 Геометрические приложения определенного интеграла
.
y y = f(x)
