Задачи для подготовки к экзамену1. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС выбраны соответственно точки М, К и Р так, что АМ: МВ = 2: 1, ВК: КС = 3: 2, СР: РА = 3: 1. Найдите площадь треугольника МРК, если площадь треугольника АВС равна 90 см2. 2. Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины В прямоугольного треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите периметр треугольника АВС, если АН = 6 см, ВС = 4 см. 3. Высота ромба, проведённая из вершины тупого угла, делит ромб на треугольник и трапецию, площади которых равны соответственно 30 см2 и 70 см2. Найдите высоту ромба. 4. Известны длины сторон треугольника АВСАВ = 4 см, АС = 8 см, ВС = 6 см. На отрезке ВС выбрана такая точка К, что угол ВАК равен углу АСВ. Найдите стороны треугольника АКС. 5. Гипотенуза ВС прямоугольного треугольника АВС равна 25 см. Найдите длину биссектрисы треугольника, проведённой из вершины С, если АС = 7 см. 6. Окружность радиуса 2 см, центр О которой лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС, касается его катетов. Найдите площадь треугольника АВС, если ОА = 7. В треугольнике АВС угол А тупой, ВК и СD – высоты, ВК = 12 см, АК = 9 см, СD = 10 см. Найдите АD. 8. Биссектриса острого угла СDА трапеции АВСD пересекает сторону АВ в точке К. Из точки К проведён перпендикуляр КЕ к стороне СD так, что СЕ = 9 см, DЕ = 16 см. Найдите КЕ и стороны трапеции, если угол А прямой, К – середина АВ. 9. Внутри параллелограмма ABCD отметили точку M. Найдите площадь параллелограмма, если сумма площадей треугольников ABM и MCD равна 46 см2. 10. Точка M лежит на стороне AB параллелограмма ABCD и делит эту сторону в отношении AM: MB = 3: 4. Отрезки DM и AC пересекаются в точке F. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника AFD равна 63 см2. 11. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Найдите величину угла при вершине A четырёхугольника, если углы DBC и CDB равны соответственно 53о и 64о. 12. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС равны соответственно 16 см, 17 см и 22 см. Где расположено основание высоты треугольника, проведённой из вершины А: на стороне ВС, на её продолжении за точку В или на её продолжении за точку С? 13. Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 71о и 79о. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 8 см. 14. Точка М лежит на стороне АВ параллелограмма АВСD и делит эту сторону в отношении AM: MB = 3: 4. Отрезки DM и AC пересекаются в точке F. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника AFD равна 63 см2. 15. Биссектриса угла А прямоугольника ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади трапеции AKCD, если AB: AD = 3: 5. 16. Точка М делит сторону АС треугольника АВС в отношении АМ: МС = 5: 8. Окружность с диаметром ВМ проходит через середину стороны ВС. Найдите АС, если ВМ = 4 см. 17. Медианы треугольника АВС, проведённые из вершин В и С, пересекаются под прямым углом. Найдите длину медианы треугольника, проведённой из вершины А, если ВС = 42 см. 18. Вершины К и Р треугольников АКВ и АРВ лежат по одну сторону от прямой АВ. Прямая РК пересекает прямую АВ в точке М. Найдите, в каком отношении, считая от точки М, точка К делит отрезок РМ, если площадь треугольника АКВ относится к площади треугольника АРВ как 2: 5. 19. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания вписанной окружности с одним из катетов делит этот катет на отрезки 8 см и 7 см. Найдите диаметр описанной окружности треугольника. 20. Сумма длин двух любых сторон пятиугольника равна 6 см. Найдите периметр пятиугольника. 21. Найдите боковую сторону АВ трапеции АВСD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60о и 135о, а CD =36 см. 22. В треугольнике АВС на сторонах ВС и АС соответственно отмечены точки Н и Р так, что РС = 8 см, 23. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42 см, BC = 14 см, CF: FD = 4: 3. 24. Биссектрисы углов В и С треугольника АВС пересекаются в точке М, а прямые, содержащие высоты треугольника, проведённые из тех же вершин, пересекаются в точке Р. Найдите угол ВАС, если угол ВРС на 21о больше угла ВМС. 25. Диагональ BD параллелограмма ABCD является его высотой и равна половине стороны AB. Найдите расстояние между прямыми AB и CD, если AD = 8 см. 26. Диагонали АС и ВD трапеции АВСD пересекаются в точке К. Площадь треугольника АВК равна 24 см2, а ВС: АD = 1: 4. Найдите площадь трапеции. 27. Диагонали трапеции равны 10 см и 24 см, а основания равны 7 см и 19 см. Найдите угол между прямыми, содержащими диагонали трапеции. 28. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите дину отрезка КР, если АК = 6 см, а сторона АС в 1,5 раза больше стороны ВС. 29. Биссектриса угла А треугольника АВС делит медиану, проведённую из вершины В, в отношении 5: 4, считая от вершины В. В каком отношении, считая от вершины С, эта биссектриса делит медиану, проведённую из вершины С? 30. В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна стороне BC. На стороне BC выбрана точка E. Отрезки AE и BD пересекаются в точке O, причём BO: OD = 2: 3, BC = 9 см и AE = 20 см. Определите угол AOD. 31. Расстояния от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до концов большей боковой стороны равны 6 и 8 см. Найдите площадь трапеции. 32. На сторонах АВ и СD прямоугольника АВСD взяты точки К и М так, что АКСМ – ромб. Диагональ АС составляет со стороной АВ угол 30о. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника равна 3 см. 33. В равнобедренную трапецию с основаниями 2 и 8 см вписана окружность. Найдите радиус описанной окружности. 34. Точка Р делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 3: 7, считая от А. В каком отношении прямая СР делит медиану ВМ? 35. Прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках Р и М соответственно. Найдите отношение площади треугольника АРМ к площади четырёхугольника МСВР, если АР: РВ =5: 4, АМ: МС = 3: 5. 36. В равнобедренной трапеции диагональ, равная 4 см, составляет с основанием угол в 30о. Найдите среднюю линию трапеции. 37. Точка М является серединой боковой стороны АВ трапеции ABCD. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника MCD равна 28 см2. 38. Точка М выбрана на боковой стороне АС равнобедренного треугольника АВС так, что АМ = 3 см. Найдите ВМ, если АВ = АС = 9 см, ВС = 6 см. 39. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 11 см, а расстояние от точки K до стороны AB равно 5 см. 40. Найдите величины углов пятнадцатиугольника, если известно, что сумма двух любых его углов одинакова. 41. Точка Р выбрана на стороне АС треугольника АВС так, что углы СВР и САВ равны. Найдите отношение площади треугольника СВР к площади треугольника АВР, если АС: ВС = 5: 4. 42. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся, как 6: 7: 23. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон треугольника равна 12 см.
|
см.
. Площади треугольников РНС и АВС относятся как 4: 25, 
. Найдите высоту ВЕ треугольника АВС.
