Прямая и обратная геодезические задачи. Прямая геодезическая задача на плоскости.В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на

Прямая геодезическая задача на плоскости.В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости.Прямая геодезическая задача состоит в том, что по известным (исходным) координатам начального пункта A(X_A,Y_A) линии AP, дирекционному углу этой линии ɑ_AP и ее горизонтальному проложению S_AP вычисляют координаты конечной точки P(X_p, Y_p) (Рис. 2.1.).

Рис. 2.1. Прямая геодезическая задача.

Как видно из приведенного рисунка, для решения этой задачи необходимо вычислить приращения координат данной линии, т.е. проекции горизонтального проложения этой линии на оси прямоугольной системы координат. Приращения координат вычисляют по формулам:

ΔX_AP=S_APcosα_AP;

ΔY_AP =S _APsin_AP. (2.1)

Тогда координаты конечной точки получают по формулам:

ΔX_P=X_A+ΔX_AP;

ΔY_P=Y_A+ΔY_AP. (2.2)

При решении прямой геодезической задачи следует обращать внимание на знаки тригонометрических функций при вычислениях приращений координат.

 

Обратная геодезическая задача состоит в том, что по известным координатам конечных точек линии AP вычисляют дирекционный угол и горизонтальное проложение этой линии, т.е. известны X_A, Y_A, X_P, Y_P, необходимо определить ɑ_{A P} и S_AP. Задача решается двумя способами, но в любом случае предварительно необходимо вычислить приращения координат, следуя правилу: приращение координат равно разности координат конечной и начальной точек линии. Если необходимо вычислить дирекционный угол направления AP, то точка А – начальная, а точка Р – конечная. Тогда приращения координат вычисляют по формулам:

ΔX_AP=X_P-X_A;

ΔY_AP=Y_P-Y_A. (2.3)

Если же необходимо вычислить дирекционный угол направления, то точка Р - начальная, а точка А - конечная. Тогда приращения координат вычисляют по формулам:

ΔX_PA=X_A-X_P;

ΔY_PA=Y_A-Y_P. (2.4)

Естественно, что длина линии S_AP = S_PA не зависит от выбора направления.Вычисления по формулам (2.3) и (2.4) бесконтрольные, поэтому приращения необходимо вычислять с особым вниманием.

Первый способ:

Вначале вычисляют дирекционный угол по формуле

(2.5)

Для однозначного определения дирекционного угла следует учитывать знаки приращений координат. Соотношения между величиной дирекционного угла, названием румба и знаками приращений приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Соотношение между величиной дирекционного угла, названием румба и знаками приращений координат

 

Горизонтальное проложение вычисляют по формулам:

(2.6)

Сходимость результатов вычисления S_AP контролирует вычисление дирекционного угла и горизонтального проложения, но не контролирует вычисление приращений.