Средняя квадратическая погрешность суммы измеренных величин

Рассмотрим функцию, представляющую собой алгебраическую сумму двух величин:

 

Z = x ± y,

Где x и y – независимые слагаемые.

Случайные погрешности слагаемых и их суммы при однократном измерении обозначим соответственно ∆x, ∆y, ∆z, тогда

 

z+ ∆z = (x+∆x) ± (y +∆y), откуда ∆z = ∆x + ∆y.

 

Если каждое слагаемое было измерено n раз, то, написав n соотношений (см выше) и возведя каждое в квадрат, получим n выражений:

 

 

Сложив левые и правые части n таких уравнений и разделив затем обе части равенства на n, получим:

 

где [∆Х∆Y] есть сумма произведений случайных погрешностей, которая согласно четвертому свойству случайных погрешностей стремиться к нулю при значительном числе измерений. Тогда, отбросив последнее слагаемое равенства, получим:

 

 

В соответствии с формулой можно написать: ,

Где m_z, m_х, m_y – средние квадратические погрешности функции и аргументов.

По аналогии для алгебраической суммы n независимых величин

 

Z= Х₁±Х₂±… ± Х_n,

Можно записать

 

,

т.е. квадрат средней квадратической погрешности алгебраической суммы аргумента равен сумме квадратов средних квадратических погрешностей слагаемых.

В частном случае, когда

m₁=m₂=...= m_n =m,

формула примет вид: m_z = m ,

т.е. средняя квадратическая погрешность алгебраической суммы равноточных измерений в раз больше средней квадратической погрешности одного слагаемого.

 

Например, если измерено 9 углов 30-секундным теодолитом, то средняя квадратическая погрешность угловых измерений составит