Средняя квадратическая погрешность измерений. Предельная погрешность

 

Для оценки степени точности ряда измерений одной и той же величины недостаточно знать арифметическое среднее погрешностей измерений, т.к. в ряде измерений может быть не отражено наличие сравнительно крупных погрешностей разных знаков, поскольку последние взаимно компенсируются.

И Гаусс предложил критерий оценки точности измерений, не зависящий от знаков отдельных сравнительно крупных погрешностей ряда – среднюю квадратическую погрешность.

Средняя квадратическая ошибка (погрешность) измерений – это корень квадратный из арифметического среднего квадратов истинных погрешностей и вычисляется по формуле:

 

 

.

 

Поскольку истинное значение измеряемой величины Х не известно, то среднюю квадратическую погрешность m вычисляют по уклонениям

 

Через уклонения арифметического среднего среднюю квадратическую погрешность определяют по формуле Бесселя:

m = , где [ ²] – сумма квадратов вероятнейших ошибок; n – число измерений, n-1 – число избыточных измерений.

Анализ кривой нормального распределения Гаусса показывает, что при достаточно большом числе измерений одной и той же величины случайная погрешность измерения может быть:

Больше средней квадратической m в 32 случаях из 100;

Больше удвоенной средней квадратической 2m в 5 случаях из 100;

Больше утроенной средней квадратической 3m в 3 случаях из 1000.

Маловероятно, чтобы случайная погрешность измерения оказалась больше утроенной средней квадратической, поэтому утроенную среднюю квадратическую погрешность считают предельной:

В качестве предельной часто принимают среднюю квадратическую погрешность, равную:

с вероятностью ошибки равной порядка 1%.