График Ганта

Один из простейших методов, используемых менеджерами при составлении планов действий, - это график Ганта. Разработанный Генри Гантом в начале ХХ века, график Ганта – это контрольная схема, на которой по горизонтали отмечают время, а по вертикали – виды деятельности или задания. Горизонтальные квадраты представляют собой сроки выполнения каждого задания, а дополнительные пометки в каждом горизонтальном квадратике означают реальное выполнение задания.

Пример графика Ганта, разработанного для контроля за постройкой фундамента для производственного компрессора и его установкой, показан на рис. *. Здесь использовались традиционные символы, которые обычно используются при составлении графика Ганта. Скобки ([ и ]) показывают, когда планируется выполнение того или иного задания. Чистые квадраты показывают продолжительность реального процесса. Точка «Текущая дата» в нижней части схемы показывает, какая неделя (или любой другой отрезок времени) наступила, позволяя любому менеджеру, взглянувшему на график, определить, на какой стадии выполнения находится проект. Например, дата, отмеченная на рис. *, показывает, что строительство фундамента для компрессора идет с опережением графика, в то время как поступление самого компрессора отстает от расписания.

Схему Ганта используют как для планирования, так и для контроля за выполнением буквально любого проекта и задания. Если заполнять ее регулярно, она показывает расхождение между планом и реальными действиями на любую конкретную дату. Используя подобную систему, менеджер может быстро перераспределить ресурсы на то задание, которое отстает от расписания. График Ганта может также показать степень соответствия планируемых и реальных затрат, а также изменения в заданиях и действиях. А настоящее время в таком графике обычно отмечают еще и ответственного за выполнение каждого задания.

 

 

Это помогает менеджерам еще эффективнее использовать этот график как инструмент контроля.

Основы сетевого планирования и управления

Методологией или базой методов сетевого планирования и управления является математическая теория графов, первые упоминания о которой появились около 300 лет назад. Несмотря на этот факт в теории графов до сих пор наблюдается определенная пестрота и неупорядоченность терминологии и обозначений. Дело в том, что, возникнув в недрах математики, теория графов сразу же обрела многочисленных приверженцев в силу ярко выраженного прикладного характера. Поэтому и ее развитие осуществлялось в соответствии с потребностями каждой отрасли прикладной науки и техники.

Привлекательной особенностью теории графов является относительно простое и наглядное решение большого класса прикладных задач, не требующее от специалистов достаточно серьезной математической подготовки.

Методы сетевого планирования и управления позволяют оптимизировать процесс создания новой техники как во времени (минимизация цикла), так и по стоимости (минимизация затрат).

Сетевое планирование и управление основано на построении графического изображения определенного комплекса работ, отражающего их логическую последовательность, взаимосвязь и длительность, с последующей оптимизацией разработанного графика и его параметров. Графическое изображение технологической последовательности, направленной на достижение определенной цели, называется сетевой моделью процесса. Структурно сетевая модель любого процесса состоит из последовательности работ или дейст действий и событий, которые графически представлены дугами и вершинами, соответственно (см. рис. 4).

Как видно из приведенного примера дугой изображается работа или действие, а вершиной – свершившееся событие. При этом под работой подразумеваются любые процессы (действия), приводящие к свершению события. Таким образом, сетевая модель выражается множеством путей, каждый из которых образует совокупность связанных непрерывной последовательностью работ и событий.

Кроме перечисленных элементов (работа и событие) при сетевом планировании используется и вспомогательное действие, не имеющее продолжительности, именуемое фиктивной работой или информационной связью и изображаемое пунктирной стрелкой.

Существует множество классификаций типов сетевых моделей. Рассмотрим некоторые наиболее важные из них. В зависимости от наличия вероятностных элементов сетевые модели могут иметь детерминированную, стохастическую и смешанную структура. В детерминированных моделях все работы, их взаимосвязи, продолжительность и требования к ожидаемым конечным результатам работ строго определены. Если работы включены с некоторой вероятностью, то структура сетевой модели носит случайный (стохастический) характер.

Смешанные модели содержат как детерминированные, так и случайные события (работы, процессы). Сети бывают также одно- и многоцелевые. К одно-целевым относятся сети, планирование мероприятий в которых направлено на одну цепь. Для многоцелевых характерно наличие нескольких целей достижение конечного результата. Основной недостаток последних заключается в определенной трудности их математической реализации.

В зависимости от количества планируемых событий сети подразделяются на простые и сложные. К простым сетям можно отнести такие, которые содержат порядка 200....300 событий, а выше – сложные. При этом простые сети рассчитываются вручную, сложные – только с помощью ЭВМ.

В детерминированных моделях при планировании продолжительности работ пользуются установленными нормами времени, регламентированные нормативными документами. В противном случае, т.е. для стохастических моделей, используют вероятностные оценки.

Сетевое планирование и управление включает, как правило, семь этапов:

1. Составление перечня работ, которые предстоит выполнить по объекту разработки для получения конечной цели.

2. Установление структуры (топологии) сети, т.е. четкой последовательности и взаимосвязи данной (i – ой), предшествующей ((i – 1) – ой) и последующей ((i + 1) – ой) работ.

3. Построение сетевого графа с помощью изложенных ниже правил, определяющих, в конечном счете, контур взаимосвязанных совокупности работ и событий по данному этапу создания (разработки) объекта.

4. Определение продолжительности работ.

5. Расчет параметров сети.

6. Анализ и оптимизация сетевого графика.

7. Исследование сетевой модели.

При составлении перечня событий и работ целесообразно воспользоваться следующей таблицей.

События, этапы разработки	Формулировка события, цель разработки	№№ работ	Содержание работы	Время выполнения работ
tmin	tmax	tож
	Решение о создании фирмы принято
			Распределение обязанностей
			Заключение договоров с фирмами-подрядчиками
			Оценка сметы выполнения заказов

На основании данных, приведенных в таблице 2, можно
изобразить граф в следующем виде:

Построение сетей рекомендуется осуществлять с соблюдением следующих правил:

1°. В сети не может быть так называемых «зависших» событий, т.е. таких в которые не входит ни одной работы, кроме исходной.

2°. В сети не может быть ни одного события, из которого не выходит ни одной работы, кроме заключительной.

3°. В сети не может быть замкнутых циклов или контуров.

4°. В сети не может быть параллельных работ. В тех случаях, когда возникает необходимость выполнения работы между двумя событиями, вводится дополнительное событие, например (см. рис.), где пунктирной линией изображена фиктивная работа, означающая лишь информационную связь, и не имеющая продолжительности.

В качестве примера, иллюстрирующего нарушение изложенных выше правил, на рис. 5 изображен граф, в котором имеется «зависшее» событие (1` - 2), параллельная работа (0 – 1 – 6), наличие второй заключительной работы (3 – 8) и замкнутого цикла (2 – 3 – 4). Буквами на нем обозначены соответствующие отклонения от решающих правил.

Невыполнение правил построения сети может привести к определенным препятствиям на пути корректного решения задачи планирования и достижения цели, а значит и возникновения дополнительных и неоправданных затрат при реализации такой модели.

Сетевая модель выражается множеством путей, каждый из которых образует совокупность связанных непрерывной последовательностью работ и событий. Среди них следует выделить критический путь, под которым понимают полный путь максимальной продолжительности (от исходного до завершающего события). Для простых, одноцелевых, условно-детерминированных и постоянных по топологии сетевых моделей практический интерес представляют и такие их параметры как сроки выполнения работ - ранний и – поздний, сроки свершения i- го события, резервы времени событий R, работ - R_ij. Для расчета указанных параметров пользуются графическими или табличными методами, основанными на аналитических зависимостях. При этом графический метод применяют в случаях, когда сетевая модель невелика и выражается 15.....20 событиями.

1. Определяют ранний и поздний сроки сведения исходного события .

2. Осуществляют «проход» сети от исходного к завершающему событию и последовательно определяют ранние сроки свершения конечных событий , т.е. ранний срок свершения любого конечного события. определяется максимумом суммы раннего срока свершения начального события () работы (ij) и ее продолжительности (t_ij).

3. Поздний срок завершающего события () обычно принимают равным раннему сроку свершения конечного события .

4. Осуществляют обратный «проход» сетевого графика, т.е. от завершающего до исходного события, в процессе которого определяют поздние сроки свершения начальных событий, для которых . Поздний срок свершения предыдущего i -го события определяется минимумом разности между поздним сроком свершения последующего события и продолжением работы t_ij.

5. Выявляют и протяженную цепочку работ, ведущих от исходного события к завершающему событию.

6. Определяют резерв времени событий R, работ R_ij и l -го пути R (l_s). R – это промежуток времени, на который может быть отсрочено наступление этого события без нарушения сроков завершения разработки в целом: .

Вполне очевидно, что для событий, лежащих на критическом пути .

Работы, лежащие на некритических путях, располагают полным ( ) и свободным ( ) резервами, определяемыми в соответствии с зависимостями:

и .

Пример расчета сетевой модели, изображенной на рис. 6, параметры которой сведены в таблицу 3.

Таблица

Сводные данные расчета параметров модели

Код работы
i	j	tij

Для больших сетевых моделей целесообразно использовать табличный метод расчета, позволяющий определить параметры модели непосредственно в таблице. В расчетную таблицу (табл. 3) заносят в определенном порядке все работы и их продолжительность (t_ij). Затем рассчитывают параметры модели. Такой подход характерен для детерминированных моделей.

Для условно-детерминированных и стохастических моделей расчет параметров осуществляют с помощью методов теории вероятностей и математической статистики.

Известно, что наиболее распространенным законом распределения случайной величины является нормальный, для описания которого достаточно знание лишь двух его характеристик: математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса (см. рис. 7)

На этом рисунке:

- соответствует математическому ожиданию, это наиболее вероятное время, как самое достоверное, которое предусмотрено для выполнения данной работы;

– это минимальное время, необходимое для выполнения данной работы при самых благоприятных стеченьях обстоятельств;

– это максимальное время, необходимое для выполнения данной работы при самых неблагоприятных стеченьях обстоятельств.

В соответствии с правилом «36» вероятность того, что время выполнения данной работы находится внутри интервала , равна 0,9973, т.е. при нормально распределенной случайной величине, абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратичного отклонения.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднеквадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0, 0027. Это означает, что лишь в 0, 27% случаев так может произойти. Такие случаи называются практически недостоверными.

Многочисленные исследования, тем не менее, показывают, что для сетевого планирования характерно b - распределение, которое от нормального отличается наличием асимметрии (см. рис. 8).

Из сопоставления рис. 7 и 8 следует, что для b - распределения не совпадает с ожидаемым временем, т.е. оценка математического ожидания времени проведения работ имеет смещение. Прежде чем провести оценку такого смещения приведем зависимости для математического ожидания и дисперсии.

Для трех оценок:

; .

Для двух оценок:

; .

Для оценки разбросов между двумя видами оценок приравняем две дисперсии:

То есть расхождение не превышает 12%, что для практических расчетов представляет несущественную величину. Это означает, что в практике возможно использование обеих оценок.

Как отмечено выше, на 6 этапе по результатам расчета параметров модели (, и ) производят ее привязку к календарным планам (графики Ганта), затем на основе всестороннего анализа разработанного графика предпринимают меры для его времени.

Сетевой график следует проанализировать с целью сокращения критического пути, затрат ресурсов, уменьшения ненужных резервов.

Анализ позволяет оценить целесообразность структуры графика, определить степень сложности выполнения каждой работы, вероятность наступления событий в заданный (директивный) срок, загрузку исполнителей работ на всех этапах выполнения проекта.

Степень сложности работ можно определить с помощью коэффициента напряженности работ:

,

где

-	продолжительность максимального пути, проходящего через данную работу;
-	продолжительность критического пути;
-	продолжительность отрезка максимального пути, совпадающего с критическим путем.

Вполне очевидно, чем больше , тем сложнее выполнить работы в установленные сроки.

Вероятность наступления событий в заданной (директивный) срок можно определить с помощью функции Лапласа по формуле:

,

где – табулированное значение функции Лапласа,

– директивный срок наступления завершающего события;

– срок наступления завершающего события при движении по критическому пути;

s - среднеквадратическое отклонение равное корню квадратному из дисперсии.

Определив и найдя по таблице значений функции Лапласа, находим вероятность наступления завершающего события в заданный (директивный) срок. Если значение Р_к находится в пределах 0,35 £ Р_к £ 0, 65, то считается, что разработка уложится в директивный срок.

Загрузку исполнителей работ определяют с помощью построения диаграммы загруженности (например, графиков Ганта), «карты проекта» или графика потребности в исполнителях.

Решение задач оптимизации предполагает наличие математической модели исследуемого объекта. Процесс построения математической модели, как известно, содержит следующие этапы:

- формализация задачи;

- анализ и выделение существенных свойств объекта (явления, процесса);

- построение математического описания, отражающего взаимосвязь существенных свойств.

При решении задачи оптимизации осуществляется процесс выбора управляемых переменных, принадлежащих допустимой области и обеспечивающих оптимальное значение некоторой характеристики объекта . Эта характеристика, показывающая относительное предпочтение одного варианта по отношению к другим, называется критерием оптимальности (функцией цели, критерием эффективности, функцией полезности и т.п.). Экстремальное значение критерия оптимальности численным образом характеризует наиболее важное свойство объекта. В зависимости от цели оптимизации критерий оптимальности может иметь либо максимальное, либо минимальное значение.

Выражение является сокращенной записью следующей задачи оптимизации: найти вектор , обеспечивающий min значение критерия оптимальности при выполнении системы неравенств (ограничений) .

В случае если критерий оптимальности и ограничения являются линейными функциями параметра , то задача относится к классу задач линейного программирования. В противном случае – задача нелинейного программирования.

Задачи нелинейной оптимизации можно разделить на два класса:

1). Задачи поиска безусловного минимума

- одномерных унимодальных функций;

- многоэкстремальных произвольных кривых;

- многопараметрических унимодальных функций;

- многоэкстремальных функций нескольких переменных

2). Задачи нелинейного программирования

- с ограничениями, образующими выпуклое множество допустимых решений (задачи выпуклого программирования);

- с ограничениями, образующими невыпуклое множество допустимых решений (задачи невыпуклого программирования).

При решении задач оптимизации также различают глобальный и локальный минимумы.

В задачах оптимизации часто возникает необходимость получить наилучшие значения для нескольких характеристик объекта оптимизации, т.е. требуется определить такие значения управляемых переменных , которые обеспечивают минимум одновременно по всем введенным критериям оптимальности . Обычно эти критерии противоречивы и оптимизация по каждому из них приводит к разным значениям управляемых переменных . В этом случае возникает задача многокритериальной оптимизации, решение которой в общем случае, не являясь оптимальным ни для одного из частных критериев, оказывается компромиссным для вектора в целом. Будем говорить, что решение задачи многокритериальной оптимизации (компромиссное решение) является эффективной точкой, если для нее справедливо неравенство для , т.е. любая компонента , но хотя бы для одного j и s найдется точка , в которой выполняется строгое неравенство . Из этого определения следует, что эффективная точка не единственная. Множество всех эффективных точек называется областью компромиссов или областью решений, оптимальных по Парето. Оптимальность по Парето векторного (комплексного) критерия означает, что нельзя дальше уменьшать значение одного из частных критериев, не увеличивая значения хотя бы одного из остальных.

Оптимизация по времени при неограниченных ресурсах проводится путем использования на работах критических и близких к ним (под критических) путей такого количества исполнителей, которое позволяет достичь заданной (требуемой) продолжительности выполнения проекта.

Одним из методов оптимизации является допустимое сокращение сроков выполнения работ и определение необходимых для этого затрат. Метод «время – затраты» заключается в установлении оптимального соотношения между продолжительностью и стоимостью работ. При этом материальные и трудовые ресурсы планируются на основе уже разработанной структуры сети, созданной с помощью прогнозирования временных оценок. Последние даются ответственным исполнителем работ с учетом планируемой им расстановки работников и использования необходимых средств. В результате оптимизации сети одновременно с изменением оценок времени на выполнение работ могут быть изменены и выделяемые ресурсы.

Решение оптимизационной задачи одним из известных методов, в зависимости от характера функции между критерием оптимальности и варьируемым параметром, предполагает построение следующего графика, определяющего соотношения между оценками времени и затрат на проведение работ.

На этом графике:

- точка а соответствует максимуму прямых затрат на выполнение работ при минимальном времени;

- точка b соответствует минимальным затратам при максимальном времени выполнения работ;

- точка с соответствует сокращенному времени выполнения работ при повышенных затратах.

Для построения графика необходимо знать следующие параметры:

- минимально-возможное время (Т_min), которому будут соответствовать максимальные затраты (К_max);

- минимально-возможную величину прямых (денежных) затрат на выполнение работы. При этих затратах работа может быть выполнена за нормальное время (Т_н).

С помощью аппроксимирующей линии, проведенной между двумя парами оценок, для которых т. а.... (T_min – K_max) и т. b..... (T_max – T_min), можно приближенно установить размеры дополнительных затрат, вызванных сокращением срока выполнения работы. Или решить обратную задачу – определить возможное увеличение времени выполнения работы, если необходимо уменьшить затраты. Так, например, величина дополнительных затрат в сокращенное время (Тс) может быть вычислена по зависимости:

,

rде соотношение характеризует скорость возрастания затрат, т.е. величину возрастания затрат в единицу времени.

При использовании данных изображенных на рис. 10 коэффициент возрастания затрат составит:

,

т.е. сокращение срока выполнения работ на один день обходится в 300 рублей, а его увеличение даст соответствующую экономию.

Последнее обстоятельство необходимо знать при увеличении сроков выполнения работ, не лежащих на критическом пути и имеющих резервы.

Для расчета и оптимизации параметров сетевых графиков очень важно знать составляющие производственного процесса и их соотношение.