Методы графического изображения результатов измерений

При обработке результатов измерений и наблюдений широко используют методы графического изображения.

Результаты измерений, представленные в табличной форме, не позволяют достаточно наглядно характеризовать закономерности изучаемых процессов. Графическое изображение дает наиболее наглядное представление о результатах экспериментов, позволяет лучше понять физическую сущность исследуемого процесса, выявить общий характер функциональной зависимости изучаемых переменных величин, установить наличие максимума или минимума функции.

После обработки результатов измерений и оценки степени точности необходимо их свести в таблицы для анализа. Данные таких таблиц обрабатывают графическими методами.

Для графического изображения результатов измерений (наблюдений), как

правило, применяют систему прямоугольных координат. Если анализируется графическим методом функция , то наносят в системе прямоугольных координат значения (рис.18).

Прежде чем строить график, необходимо знать ход (течение) исследуемого явления.

Как правило, качественные закономерности и форма графика экспериментатору ориентировочно известны из теоретических исследований.

Точки на графике необходимо соединять плавной линией так, чтобы она по возможности ближе проходила ко всем экспериментальным точкам. Если соединить точки прямыми отрезками, то получим ломаную кривую. Она характеризует изменение функции по данным эксперимента. Обычно функции имеют плавный характер. Поэтому при графическом изображении результатов измерений следует проводить между точками плавные кривые. Резкое искривление графика объясняется погрешностями измерений. Если бы эксперимент повторили с применением средств измерений более высокой точности, то получили бы меньшие погрешности, а ломаная кривая больше бы соответствовала плавной кривой.

Однако могут быть исключения. Так, иногда исследуются явления, для которых в определенных интервалах наблюдается быстрое скачкообразное изменение одной из координат (рис. 19). Это объясняется сущностью физико-химических процессов, например, фазовыми превращениями влаги при исследовании промерзающих систем, радиоактивным распадом атомов в процессе исследования радиоактивности и т.д.

В таких случаях необходимо наиболее тщательно соединять точки кривой. Общее «осреднение» всех точек плавной кривой может привести к тому, что скачок функции подменяется погрешностями измерений.

Иногда при построении графика одна – две точки резко удаляются от кривой. Вначале нужно проанализировать физическую сущность явления, и если нет основания полагать наличия скачка функции, то такое резкое отклонение можно объяснить грубой ошибкой или промахом. Это может возникнуть тогда, когда данные измерений предварительно не исследовались на наличие грубых ошибок измерений. В таких случаях необходимо повторить измерение в диапазоне резкого отклонения точки. Если прежнее измерение оказалось ошибочным, то на график наносят новую точку. Если же повторные измерения дадут прежние значения, необходимо к этому интервалу кривой отнестись очень внимательно и особо тщательно проанализировать физическую сущность явления.

Часто при графическом изображении результатов экспериментов приходится иметь дело с тремя переменными

В этом случае применяют метод разделения переменных. Одной из величин в пределах интервала измерений задают несколько последовательных значений. Для двух остальных переменных и (при ) строят графики . В результате на одном графике получают семейство кривых для различных значений (см. рис.20).

Если необходимо графически изобразить функцию с четырьмя и более переменными , то строят серию графиков типа предыдущих (см. рис. 20), но каждый из них при или принимают из переменных постоянными и строят графики: вначале , далее , и т.д. Таким образом, можно проследить изменение любой переменной величины функции от других при постоянных значениях остальных.

Этот метод графического анализа требует тщательности, большого внимания к результатам измерений. Однако он в большинстве случаев является простым и наглядным.

При графическом изображении результатов экспериментов большую роль играет выбор системы координат или координатной сетки. Координатные сетки бывают равномерными и неравномерными. У равномерных координатных сеток ординаты и абсциссы имеют равномерную шкалу. Например, в системе прямоугольных координат длина откладываемых единичных отрезков на обеих осях одинаковая.

Из неравномерных координатных сеток наиболее распространены полулогарифмические, логарифмические, вероятностные.

Полулогарифмическая сетка имеет равномерную ординату и логарифмическую абсциссу (рис.21).

Логарифмическая координатная сетка имеет обе оси логарифмические (см. рис. 21), вероятностная – ординату, обычно равномерную, и абсциссу – вероятностную шкалу (рис.22).

 

Рис.5. Координатная вероятностная сетка

Рис. 22. Координатная вероятностная сетка

 

Назначение неравномерных сеток различное. В большинстве случаев их применяют для более наглядного изображения функций. Функция имеет различную форму на различных сетках. Так, многие криволинейные функции спрямляют на логарифмических сетках.

Большое значение в практике графического изображения экспериментальных данных имеет вероятностная сетка, применяемая в различных случаях: при обработке измерений для оценки их точности, при определении расчетных характеристик (расчетной влажности, расчетных значений модуля упругости грунта и горных пород, межремонтных сроков службы одежды и покрытий и т. д.).

Иногда в процессе обработки экспериментальных данных графическим способом необходимо составить расчетные графики, ускоряющие нахождение по одной переменной других, при этом существенно повышаются требования к точности вычерчивания функции на графике.

Вычерчивая расчетные графики, необходимо руководствоваться следующими практическими рекомендациями. В зависимости от числа переменных нужно выбрать координатную сетку и определить вид графика – одна кривая, семейство кривых или серия семейств. Большое значение приобретает выбор масштаба графика, что связано с размерами чертежа и соответственно с точностью снимаемых с него значений величин. Известно, что чем крупнее масштаб, тем выше точность снимаемых значений. Однако, как правило, графики не превышают размеров 20×15 см, что является удобным при составлении отчетов. Лишь в отдельных случаях используют графики больших размеров.

Опыт показывает, что применяемая для вычерчивания графиков миллиметровая бумага в пределах размеров 15 – 20 см дает погрешность ± 0,1–0,2 мм. Это следует иметь в виду при вычерчивании расчетных графиков. Таким образом, абсолютная ошибка снимаемых с графиков величин может достигать , где – принятый масштаб графика. Очевидно, что точность измерений может быть выше точности снимаемых с графика величин.

Масштаб по координатным осям обычно применяют различный. От выбора его зависит форма графика – он может быть плоским (узким) или вытянутым (широким) вдоль оси (рис.23).

Узкие графики дают большую погрешность по оси , широкие – по оси .

Из рисунка видно, что правильно подобранный масштаб (нормальный график) позволяет существенно повысить точность отсчетов.

Расчетные графики, имеющие максимум (минимум) функции или какой-либо сложный вид, особо тщательно необходимо вычерчивать в зонах изгиба. На таких участках количество точек для вычерчивания графика должно быть значительно больше, чем на плавных участках.

В некоторых случаях строят номограммы, существенно облегчающие применение для систематических расчетов сложных теоретических или эмпирических формул в определенных пределах измерения величин. Номограммированы могут быть любые алгебраические выражения. В результате сложные математические выражения можно решать сравнительно просто графическими методами. Построение номограмм – трудоемкая операция. Однако, будучи раз построенной, номограмма может быть использована для нахождения любого из переменных, входящих в номограммированное уравнение. Применение ЭВМ существенно снижает трудоемкость номограммирования.

Существует несколько методов построения номограмм. Для этого применяют равномерные или неравномерные координатные сетки. В системе прямоугольных координат функции в большинстве случаев на номограммах имеют криволинейную форму. Это увеличивает трудоемкость, поскольку требуется большое количество точек для нанесения одной кривой.

В полу- или логарифмических координатных сетках функции имеют прямолинейную форму и составление номограмм упрощается.

Методика построения номограмм функции одной переменной или многих описана ранее и сводится к построению кривой, семейства или серии семейств путем принятия постоянных и нахождения одной переменной.

Сложные алгебраические выражения целесообразно сводить к простому произведению двух-трех значений, например: , где – функции

двух, трех переменных.

В этом случае необходимо вначале, задавшись переменными, вычислить , далее, придавая им постоянные значения, найти . Величины необходимо варьировать в определенных значениях, например, от 0 до 100
через 5 или 10.

Наиболее эффективным является такой способ построения номограмм, при котором представляются как безразмерные критерии.