Методы подбора эмпирических формул

В процессе экспериментальных измерений получают статистический ряд измерений двух величин, объединяемых функцией

(91)

Каждому значению соответствует определенное значение аргумента .

Экспериментатор должен быть уверенным в достоверности получаемых им измерений.

На основе экспериментальных данных можно подобрать алгебраические выражения, которые называют эмпирическими формулами.

Такие формулы подбирают лишь в пределах измеренных значений аргумента . эмпирические формулы имеют тем большую ценность, чем больше они соответствуют результатам эксперимента.

Необходимость в подборе эмпирических формул возникает во многих случаях. Так, если алгебраическое выражение (91) сложное, требует громоздких вычислений, составления программ для ЭВМ, то часто эффективнее пользоваться упрощенной приближенной эмпирической формулой. Опыт показывает, что эмпирические формулы часто незаменимы для анализа измеренных величин. К эмпирическим формулам предъявляют два основных требования – по возможности они должны быть наиболее простыми и точно соответствовать экспериментальным данным в пределах изменения аргумента.

Таким образом, эмпирические формулы являются приближенными выражениями аналитических формул. Замену точных аналитических выражений приближенными, более простыми называют аппроксимацией, а функции аппроксимирующими.

Процесс подбора эмпирических формул состоит из двух этапов.

На первом этапе данные измерений наносят на сетку прямоугольных координат, соединяют экспериментальные точки плавной кривой и выбирают ориентировочно вид формулы. На втором этапе вычисляют параметры формул, которые наилучшим образом соответствовали бы принятой формуле. Подбор эмпирических формул необходимо начинать с самых простых выражений.

Результаты измерений многих явлений и процессов аппроксимируются простейшими эмпирическими уравнениями типа

(92)

где – постоянные коэффициенты.

Так, линеаризованным уравнением (92) можно выразить зависимость между влажностью и плотностью грунта, содержанием цемента и прочностью бетона, количеством проходов смесительной машины и степенью размельчения грунта, продолжительностью перемешивания асфальтобетонной смеси и степенью ее однородности и т.д.

Поэтому при анализе графического материала необходимо по возможности использовать линейную функцию. В этом случае применяют метод выравнивания. Он заключается в том, что кривую, построенную по экспериментальным точкам, представляют линейной функцией.

Для преобразования некоторой кривой (91) в прямую линию вводят новые переменные и :

; . (93)

В этом уравнении и должны быть связаны линейной зависимостью

. (94)

Значения и можно вычислить на основе решения системы (93). Далее строят прямую (рис. 24), по которой легко графически вычислить параметры (ордината точки пересечения прямой с осью ) и (тангенс угла наклона прямой с осью ):

.

При графическом определении параметров и обязательно, чтобы прямая (92) строилась на координатной сетке, у которой началом является точка и . Для расчета необходимо точки и принимать на крайних участках прямой.

Для определения параметров прямой можно применить также другой графический метод. В уравнение (94) подставляют координаты двух крайних точек, взятых с графика. Получают систему двух уравнений, из которых вычисляют и . После установления параметров и получают эмпирическую формулу (92), которая связывает и , что позволяет установить функциональную связь между и (93) и эмпирическую зависимость (91).

Линеаризацию кривых можно легко осуществить на полу- или логарифмических координатных сетках, которые сравнительно широко применяют при графическом методе подбора эмпирических формул.

Пример. Подобрать эмпирическую формулу следующих измерений:

12,1	19,2	25,9	33,2	40,5	46,4	54,0

Графический анализ этих измерений показывает, что в прямоугольных координатах точки хорошо ложатся на прямую линию и их можно выразить зависимостью (92).

Выбираем координаты крайних точек и подставляем в (92):

Откуда и Эмпирическая формула имеет вид

Таким образом, аппроксимация экспериментальных данных прямолинейными функциями позволяет просто и быстро установить ряд эмпирических формул.

Графический метод выравнивания может быть применен в различных случаях, когда экспериментальная кривая на сетке прямоугольных координат имеет вид плавной кривой. Рассмотрим основные случаи.

Если экспериментальный график имеет вид рис. 25, а, то необходимо применить формулу

(95)

Заменяя и имеем

При этом экспериментальная кривая превращается в прямую линию на логарифмической сетке.

Если экспериментальный график имеет вид рис.25 , то нужно использовать выражение

(96)

Заменяя имеем

Здесь экспериментальная кривая превращается в прямую линию на полулогарифмической сетке.

Если экспериментальный график имеет вид рис.25, в, то применяем

(97)

а) b – задано. Принимая , имеем прямую линию на сетке прямоугольных координат ;

б) b – неизвестно. Принимая и , имеем прямую линию на логарифмической сетке

В этом случае необходимо предварительно вычислить с. Для этого по экспериментальной кривой принимают три произвольные точки:

; и ; и вычисляют с:

. (98)

Если экспериментальный график имеет вид рис. 25 г, то нужно пользоваться формулой

. (99)

Заменяя имеем прямую на полулогарифмической сетке . Необходимо предварительно определить «с» с помощью (98), но

Если экспериментальный график имеет вид рис. 25, д, то применяем выражение

, (100)

Заменяя , получаем прямую линию на сетке прямоугольных координат . Если график имеет вид рис. 25 е, то нужно использовать формулу

. (101)

Заменяя , имеем , т.е. прямую на сетке прямоугольных координат.

Аналогично для уравнения

. (102)

с имеем .

Сложную степенную функцию

(103)

преобразуем в прямую линию.

При , имеем .

С помощью приведенных на рис. 25 графиков и выражений (95) – (103) практически можно всегда подобрать уравнение эмпирической формулы.

Пример. Подобрать эмпирическую формулу для следующих измерений:

	1.5	2.0	2,5	3.0	3,5	4,0	4.5
15,2	20.6	27,4	36,7	49,2	66,0	87,4	117,5

На основе этих данных строим график. Как видно из рис. 26, имеем типичный график для показательной функции (96) (рис. 25, б). В этой формуле необходимо найти параметры а и b.

После логарифмирования этого выражения имеем .

Если обозначить , то , т.е. в полулогарифмических координатах выражение для представляет собой прямую линию, что подтверждается рис. 26.

Подставим в уравнение координаты крайних точек:

или

Отсюда ;

;

Окончательно эмпирическая формула имеет вид .

При подборе эмпирических формул широко используют полиномы

, (104)

где – постоянные коэффициенты.

Полиномами можно аппроксимировать любые результаты измерений, если они графически выражают непрерывные функции.

Особо ценным является то, что даже при неизвестном точном выражении функции (104) можно определить значения коэффициентов А. Кроме графического метода, изложенного выше, для определения коэффициентов А применяют методы средних и наименьших квадратов.

Метод средних квадратов основан на следующем положении. По экспериментальным точкам можно построить несколько плавных кривых. Наилучшей будет та кривая, у которой разностные отклонения наименьшие, т.е. .

Порядок расчета коэффициентов полинома сводится к следующему.

Определяют число членов ряда (104). Обычно принимают не более 3 – 4.

В принятое выражение последовательно подставляют координаты и экспериментальных точек и получают систему из уравнений. Каждое уравнение приравнивают соответствующему отклонению

;

; (105)

……………………………………………

.

Обычно число точек, т.е. число уравнений, больше числа коэффициентов А, что позволяет их вычислить при решении системы (105).

Разбивают систему начальных уравнений (105) последовательно сверху

вниз на группы, число которых должно быть равно количеству коэффициентов А.

В каждой группе складывают уравнения и получают новую систему уравнений, равную количеству групп (обычно 2 – 3). Решая систему, вычисляют коэффициенты А.

Метод средних обладает высокой точностью, если число точек достаточно велико (не менее 3 – 4). Степень точности можно повысить следующим образом. Начальные условия группируют по 2 –3 вариантам и вычисляют для каждого варианта эмпирическую формулу. Предпочтение отдают той формуле, у которой .

Пример. Выполнено семь измерений:

10.2	6.7	4.8	3.6	2,7	2,1	1,7

Необходимо подобрать эмпирическую формулу для полинома

.

Подставим в это уравнение точки и разобьем систему начальных уравнений на три группы (1 –2, 3 –4, 5 – 7):

;

;

;

;

;

;

.

После сложения уравнений в каждой подгруппе имеем

;

;

.

Определяя из этих выражений и , окончательно имеем следующую эмпирическую формулу:

.

Метод средних может быть применен для различных кривых после их выравнивания.

Пример. Имеется восемь измерений:

57,6	41,9	31,0	22,7	16,6	12,2	8,9	6,5

Анализ кривой в системе прямоугольных координат дает возможность применить формулу (96): .

Произведем выравнивание путем замены переменных , . Тогда , где , .

Поскольку необходимо определить два параметра, то разбиваем все измерения на две группы по четыре измерения. Составляем восемь уравнений:

 

После суммирования по группам получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными и , решая которую, имеем

Окончательно .

Наилучшие результаты при определении параметров заданного уравнения дает использование метода наименьших квадратов. Суть этого метода заключается в том, что если все измерения функции произведены с одинаковой точностью, и распределенные величины ошибок измерения соответствуют нормальному закону, то параметры исследуемого уравнения определятся при условии, что сумма квадратов отклонения измеренных значений от расчетных принимает наименьшее значение.

Для нахождения неизвестных параметров (), число которых , необходимо решить систему линейных уравнений:

 

(106)

 

где – частные значения измеренных величин функциями

– переменные величины;

– коэффициенты уравнения, которые необходимо определить.

Эту систему приводят к системе нормальных линейных уравнений путем умножения каждого уравнения соответственно на и последующего их сложения, затем умножения соответственно на и т.д. Это позволяет получить так называемую систему нормальных уравнений.

(107)

Решив эту систему, определяют искомые коэффициенты.

Пример. Необходимо определить коэффициенты и в уравнении ,

где – коэффициент раздвижки зерен в бетоне;

– расход цементного теста в литрах на 1м³ бетона.

Поскольку требуется определить два параметра, то система уравнений представляется:

здесь .

Так как уравнение линейное, ограничиваемся четырьмя сериями опытов (табл. 7).

Таблица 7

	1,26 1.32 1,40 1.50		289,8 336,6 413,0 480,0
	5,48		1519,4

Система нормальных уравнений состоит из двух:

Решая их, получаем

Следовательно, окончательно имеем следующую эмпирическую формулу:

Метод наименьших квадратов обеспечивает результаты высокой надежности. Степенью точности коэффициентов в (104) должна быть такой, чтобы вычисленные значения совпадали со значениями в исходных табличных значениях. Это требует вычислить значения тем точнее, чем выше индекс , т.е. должно быть точнее (больше число десятичных знаков), чем ; – точнее, чем и т.д.

Для вычисления коэффициентов методом наименьших квадратов необходимо расчеты проводить по типовым программам на ЭВМ.