Корреляционный анализ

Под корреляционным анализом понимают исследование закономерностей между явлениями (процессами), которые зависят от многих, иногда неизвестных факторов. Если две переменные зависят друг от друга так, что каждому значению соответствует значение , то между ними существует функциональная связь.

Однако часто между переменными и существует связь, но не вполне определенная. Одному значению соответствует несколько значений (совокупность) . В этом случае связь называют корреляционной.

Функция является корреляционной, если каждому значению аргумента соответствует статистический ряд распределения функции . Следовательно, корреляционные зависимости характеризуются вероятностными связями. Поэтому установление корреляционных зависимостей между величинами и возможно лишь тогда, когда выполняемы статистические измерения.

Например, модуль упругости грунта зависит от его объемного веса . С возрастанием объемного веса увеличивается модуль упругости грунта. Эта закономерность проявляется лишь при наличии большого количества измерений. Для каждой отдельно парной связи наблюдаются большие отклонения.

Суть корреляционного анализа сводится к установлению уравнения регрессии, т.е. вида кривой между случайными величинами, оценка тесноты связей и достоверности результатов измерений.

Чтобы предварительно определить наличие корреляционной связи между и , наносят точки на график и строят так называемое корреляционное поле (рис.27). По тесноте группирования точек вокруг прямой или кривой линии, по наклону линии можно визуально судить о наличии корреляционной связи. Так, из рис. 27, видно, что экспериментальные данные имеют определенную связь между и . В то же время измерения, приведенные на рис. 27, , такой связи не имеют.

Корреляционное поле характеризует вид связи между и . По форме поля можно ориентировочно судить о форме графика, характеризующей прямолинейную или криволинейную зависимость. Даже для вполне выраженной формы корреляционного поля вследствие статистического характера связи исследуемого явления одно значение может иметь несколько значений .

Поэтому оптимальной будет такая функция, в которой соблюдаются условия наименьших квадратов:

(108)

где – фактические ординаты поля;

– среднее значение ординаты с абсциссой , вычисленной по уравнению.

Если нанести на корреляционном поле (см. рис.27, ) средние значения (обозначенные крестиками), то линия будет соответствовать функциональной зависимости . Средняя линия корреляционного поля, для которой соблюдается условие (108), называется линией регрессии.

Существует три вида корреляции – прямолинейная, криволинейная и множественная. Наиболее распространенной является прямолинейная корреляция.

Поле корреляции аппроксимируют уравнением прямой. Линию регрессии рассчитывают из условий наименьших квадратов (108):

(109)

При этом кривая наилучшим образом выравнивает значения постоянных коэффициентов и , т.е. коэффициентов уравнения регрессии. Их вычисляют по выражениям

(110)

, (111)

 

Критерием близости корреляционной зависимости между и к линейной функциональной зависимости является коэффициент корреляции . Он показывает степень линейности связи и :

 

; (112)

 

; (113)

, (114)

 

где – число измерений;

– среднеквадратичные отклонения.

Несмотря на громоздкость формулы (112), она наиболее простая для вычислений. Значение коэффициента корреляции всегда меньше единицы. При величины и связаны функциональной связью (в данном случае линейной), т.е. каждому значению соответствует одно значение . Если < 1, то линейной связи не существует. При между и линейной корреляционной связи не существует, однако может существовать нелинейная регрессия. Обычно считают тесноту связи удовлетворительной при ; хорошей при .

Уравнение регрессии прямой можно представить выражением (109) или

 

. (115)

 

Пример. Имеется статистический ряд парных измерений:

 

 

Необходимо найти уравнение прямолинейной регрессии, оценить тесноту связей и оценить степень достоверности. Расчет ведем в табличной форме, (табл. 8).

 

Таблица 8

		– 4,5 – 3,5 – 2,5 – 1,5 – 0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4.5	– 15 – 12 – 9 – 7 – 2 + 3 + 4 + 9 + 11 + 18	20,25 12,25 6,25 2,25 0,25 0,25 2,25 6,25 16,25 20,25					67,5 42,0 22,5 10,5 1,0 1,5 6,0 22,5 31,5 81,0
		–	–	82,50					86,0

 

;

Вычисляем из (114):

Полученный коэффициент корреляции довольно высок.

Коэффициент регрессии по (115)

Уравнение регрессии

Определим уравнение регрессии иным способом.

Коэффициент корреляции согласно (112)

Из (110) и (111)

По (109) уравнение регрессии имеет вид

Расчет по полученным двум уравнениям регрессии, а также сравнение с заданными величинами, приведены в табл. 9.

Таблица 9

х
у у 1 у 2	7,1 7,1	10,6 10,6	14,2 14,2	17,7 17.7	21,3 21,3	24,8 24.8	28,3 28,3	31,8 31,9	35,4 35,4	38,9 39,0

 

Как видно из расчетов, сходимость хорошая.

Пример. Необходимо исследовать выносливость горных пород (количество циклов нагружения образцов до их разрушения) в зависимости от степени их нагружения

Составим гипотезу научного исследования. Из литературных данных известно, что усталостное разрушение материалов, в том числе и горных пород, представляет собой в значительной степени вероятностный процесс, т.е. на усталостное разрушение влияет много случайных факторов. Поэтому можно описать лишь наиболее вероятную зависимость между выносливостью горных пород и интенсивностью нагружения

Анализ литературных источников, а также поисковый эксперимент показали, что эта зависимость может быть описана экспоненциальной зависимостью в виде , или ,

где – величина приложенного напряжения, Па;

– прочность горной породы при изгибе, Па, определяется в соответствии с требованиями ГОСТа;

– количество циклов нагружения , при которых горная порода разрушается;

– коэффициенты.

Применим для этой кривой метод прямолинейной корреляции.

Поисковый эксперимент показал, что разброс показателей измерения величины очень высок, поэтому требуемое количество образцов для получения достоверных результатов при точности измерения ± 10 % и вероятности ее получения 95 % составляет 15 образцов в одной серии.

Зависимость исследуем в пределах Выравнивание зависимости приводит к результату . Учитывая, что получена прямолинейная зависимость, а усталостное разрушение в значительной степени представляет собой вероятностный процесс, в дальнейшем исследовании используем уравнение прямолинейной корреляции (115)

,

где – численные значения логарифмов количества циклов нагружения, ;

– частные значения относительной напряженности.

Далее составляем методику основных экспериментальных исследований, в соответствии с которой проверяются эксперименты. Экспериментальные данные занесены в табл. 10, с помощью которых произвели вычисления (п =106).

Таблица 10

№ п/п
…	0,91 0,91 0,91 … 0,58 0,58	0,1854 0,1854 0,1854 … – 0,1446 – 0,1446	0,0343 0,0343 0,0343 … 0,0299 0,0209	2,1239 2,5340 2,2553 … 5,7982 6,0000	– 2,1239 – 2,5350 – 2,2553 … + 1,5289 + 1,7302	4,6049 3,0151 4,0582 … 2.3360 2,9936	– 0,3970 – 0,3212 – 0,3727 … – 0,2216 – 0,2509
	76,81	–	1,8980	452,5988	–	162,7350	– 16,4631

 

Вычисляем: ; ; ; . Согласно (114) .

Таким образом,

Полученная формула отражает наиболее вероятную связь между величинами и для данных конкретных условий эксперимента.