Оценка результатов измерений, содержащих грубые ошибки

Появление этих ошибок вполне вероятно, а наличие их ощутимо влияет на результат измерений. Так, уже одна грубая ошибка в 25 измерениях значительно искажает экспериментальные данные. При анализе эксперимента необходимо, прежде всего, исключить грубые ошибки. Однако прежде чем исключить то или иное измерение, необходимо убедиться, что это действительно грубая ошибка, а не отклонение вследствие статистического разброса.

Известно несколько методов определения грубых ошибок статистического ряда. Пусть имеется статистический ряд малой выборки, подчиняющийся закону нормального распределения. При наличии грубых ошибок критерии их появления

 

, (128)

 

где , – наибольшее и наименьшее значение из измерений.

Составляют таблицу, в которой приводятся в зависимости от доверительной вероятности максимальные значения , возникающие вследствие статистического разброса. Если > , то значение необходимо исключить из статистического ряда как грубую погрешность. При < исключается величина . После исключения значений грубых ошибок определяют новые значения и из или измерений.

При анализе измерений можно применять для приближенной оценки следующую методику:

вычисляют по (118) среднеквадратичное отклонение ;

определяют по (122) ;

принимают доверительную вероятность и находят доверительные интервалы по (126);

окончательно устанавливают действительное значение измеряемой величины по формуле (127).

Приведенная методика целесообразна лишь для второстепенных экспериментов.

При более глубоком анализе экспериментальных данных рекомендуется следующая методика.

1. После получения экспериментальных данных в виде статистического ряда его анализируют. Проведя повторные измерения в одних и тех же условиях, предварительно исключают систематические ошибки (см. выше).

2. Анализируют ряд в целях обнаружения грубых ошибок и промахов:

устанавливают подозрительные значения или ;

определяют среднеквадратичное отклонение ;

вычисляют по (128) критерии и сопоставляют с или ;

исключают при необходимости из статистического ряда или и получают новый очищенный статистический ряд из новых членов.

3. Вычисляют среднеарифметическое , погрешности отдельных измерений и среднеквадратичное отклонение очищенного ряда .

4. Находят среднеквадратичное отклонение серии измерений, коэффициент вариации .

5. При большой выборке задаются доверительной вероятностью или уравнением значимости и по таблице определяют . При малой выборке в зависимости от принятой доверительной и числа членов ряда принимают коэффициент Стьюдента ; по формуле (126) для большой выборки или для малой выборки определяют доверительный интервал.

6. Устанавливают по (127) действительное значение исследуемой величины.

7. Оценивают относительную погрешность результатов серии измерений при заданной доверительной вероятности или

 

, % (129)

 

Если величина погрешности серии измерений соизмерима с величиной погрешности прибора , то границы доверительного интервала можно вычислить так:

 

. (130)

 

Формулой (129) следует пользоваться при , если же >3 , то доверительный интервал вычисляют с помощью (118 или 126).

Пример. Имеется 18 измерений (табл. 11). Необходимо их проанализировать. Анализ средств и результатов показал, что систематических ошибок в эксперименте не обнаружено.

Выясним, не содержат ли измерения грубых ошибок. Воспользуемся первым методом (критерий ). Вычислим среднеарифметическое и средне-

квадратичное отклонение .

Таблица 11

№ п/п
		– 8 – 8 – 7 – 7 – 6 – 5 – 4 – 2 – 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 17	– 7,83 – 7,83 – 6,83 – 6,83 – 5,83 – 4,83 – 3,83 – 1,83 – 0,83 + 0,17 + 1,17 + 2,17 + 3,17 + 4,17 + 5,17 + 6,17 + 7,17 + 17,17
			Проверка – 46,5 + 46,5

 

При вычислении удобно пользоваться следующей формулой:

,

где – среднее произвольное число.

Для вычисления примем произвольно .

Тогда .

В формуле (118) величину можно вычислить упрощенным методом:

.

В данном случае .

По таблице , коэффициент вариации .

Вычисляем

.

Как видно из таблицы при доверительной вероятности

и . Поскольку < , то измерение 92 не является грубым промахом.

Воспользуемся вторым методом. Для п = 18 по таблице q = 2,17 при доверительной вероятности 0,95 и = 3,00, если = 0,99.

Предельно допустимая абсолютная ошибка отдельного измерения

при = 0,95 = 6,58 · 2,17 = 14,3;

при = 0,99 = 6,58 · 3,00 = 19,7.

Следовательно, при доверительной вероятности 0,95(92 – 74,8) > 14,3 и

измерение 92 необходимо из ряда исключить. Если же доверительную вероятность принять равной 0,99, то (92 – 74,8) < 19,7 и измерение 92 следует оставить.

В случае, когда измерение 92 исключается, то = 73,8; = 5,15.

Вычисляем среднеквадратичное отклонение для всей серии измерений:

при =18 ;

при очищенном ряде =17 .

Таким образом, при очищенном ряде точность измерений повышается на 27 %.

Определим границы доверительного интервала. Поскольку < 20, то ряд следует отнести к малой выборке. Поэтому доверительный интервал вычислим с применением коэффициента Стьюдента . По таблице принимаем доверительную вероятность 0,95 и = 2,11 при = 18; =2,12 при =17. Вычисляем доверительный интервал:

при = 18 1,55 · 2,11 = 3,2;

при = 17 1,25 · 2,18 = 2,7.

Вычислим действительное значение изучаемой величины

при = 18 = 74,8 3,2;

при = 17 = 73,8 ± 2,7.

Оценим относительную погрешность результатов серий измерений:

при = 18

при = 17

Таким образом, если принять за грубый промах, погрешность измерения уменьшается на 14 %. Если необходимо определить минимальное количество измерений при заданной точности измерений, проводят серию опытов, вычисляют , затем по формуле (123) определяют .

В данном случае Допустим, задана точность и при доверительной вероятности Имеем

при измерений;

при измерений.

Таким образом, повышение точности измерения значительно увеличивает повторность опытов.

Во многих случаях в процессе экспериментальных исследований приходится иметь дело с косвенными измерениями. При этом неизбежно в расчетах применяют те или иные функциональные зависимости типа

. (131)

Поскольку в данную функцию подставляют не истинные, а приближенные значения, то и окончательный результат также будет приближенным. В связи с этим одной из основных задач теории случайных ошибок является определение ошибки функции, если известны ошибки их аргументов.

При исследовании функции одного переменного предельные абсолютные и относительные ошибки (погрешности) вычисляют по формулам

; (132)

, (133)

где – производная функция ;

– дифференциал натурального логарифма функции.

Если исследуется функция многих переменных, то

, (134)

. (135)

В уравнениях (134) и (135) под знаком суммы и дифференциала принимают абсолютные величины. Методика определения ошибок с помощью этих уравнений следующая.

1. Определяют абсолютные и относительные ошибки аргументов (независимых переменных). Обычно величина каждого переменного измерена, следовательно, абсолютные ошибки для аргументов известны, т.е. . Вычисляют относительные ошибки независимых переменных:

(136)

2. Находят частные дифференциалы функции и по формуле (134) вычисляют в размерностях функции .

3. С помощью (135) вычисляют .

Одной из задач теории измерений является установление оптимальных, т.е. наиболее выгодных, условий измерений. Оптимальные условия измерений в данном эксперименте имеют место при . Методика решения этой задачи сводится к следующему. Если исследуют функцию с одним неизвестным переменным, то вначале берут первую производную по . Приравняв ее к нулю, определяют . Если вторая производная по будет положительной, то функция (131) при имеет минимум. При наличии нескольких переменных поступают аналогичным образом, но берут производные по всем переменным . В результате минимизации функций устанавливают оптимальную область измерений (интервал температур, напряжений, силы тока, угла поворота стрелки на приборе и т.д.) каждой функции , при которой относительная ошибка измерений минимальна; .

В исследованиях часто возникает вопрос о достоверности данных, полученных в опытах. Проиллюстрируем это примером. В исследованиях влияние вибрационного перемешивания на прочность бетона установлено: прочность контрольных образцов Па, прочность бетонных образцов после виброперемешивания Па.

Прирост прочности составляет 15%. Это упрочнение относительно небольшое, его можно отнести за счет разброса опытных данных. В этом случае проводят проверку на достоверность экспериментальных данных по условию

(137)

В данном случае проверяется разница Па, ошибка измерения равна , поэтому

 

(138)

Следовательно, полученный прирост прочности является достоверным.

В настоящее время имеется программа для ПЭВМ «Статистика», позволяющая определить погрешность измерений, достоверность данных эксперимента, получить аппроксимирующие уравнения, а также определить погрешность данных опытов и результатов теоретических исследований.