Диссипативные структуры

Диссипативные структуры являются результатом развития собственных внутренних неустойчивостей в системе. Процессы самоорганизации возможны при обмене энергией и массой с окружающей средой, т. е. при поддержании состояния текущего равновесия, когда потери на диссипацию компенсируются извне. Эти процессы описываются нелинейными уравнениями для макроскопических функций.

Возникновение макроскопических структур обусловлено рождением, под действием крупномасштабных флуктуаций, коллективных типов движения (мод), их конкуренцией, подавлением одних и развитием тех, которые наиболее приспособляемы к данным условиям. Сходство процессов возникновения диссипативных структур с фазовыми переходами в равновесных системах дало основание называть их неравновесными (кинетическими) фазовыми переходами. Формальная общность кинетических и равновесных фазовых переходов заключается в кооперативном характере процесса, обусловленном тем, что в системе, обладающей бесконечным числом степеней свободы, находится одна или несколько таких, изменение которых подчиняет себе изменение остальных.

Таким образом, в отличие от неравновесной статистической физики замкнутых систем, где анализируются процессы релаксации, приближение к равновесному состоянию, синергетика (термодинамика открытых систем) рассматривает обратный процесс создания и эволюции все усложняющихся диссипативных структур, когда системы стремятся к менее вероятному состоянию, эволюционируют с уменьшением энтропии. Так как в процессе усложнения требуется все большее число параметров для их описания, то структуры приобретают индивидуальность, неповторимость. В обратном процессе возвращения к положению термодинамического равновесия поведение различных систем становится схожим и, в конце концов, единственным параметром, определяющим функции распределения, становится температура.

Диссипативные структуры можно разделить на временные, пространственные и пространственно-временные. Примерами временных структур являются периодические, колебательные и волновые процессы. Типичными примерами пространственных структур являются: переход ламинарного течения в турбулентное, переход диффузионного механизма передачи тепла в конвективный. Характерные примеры: турбулентность, ячейки Бенара и сверхрешетка пор.

Развитие турбулентности начинается при достижении числом Рейнольдса критического значения. Ламинарное течение становится неустойчивым, возникают стационарные колебания скорости движения, затем более сложное движение до, все увеличивающимся числом характерных частот. Это чрезвычайно сложное квазипериодическое движение иногда называют динамическим хаосом. Однако понятие хаоса в этом случае не имеет ничего общего с хаотическим тепловым движением молекул в равновесном состоянии³. Турбулентное движение является макроскопическим, обусловленным большим числом возникших корреляций. Число степеней свободы, необходимых для его описания, по некоторым оценкам достигает 10⁹. Возникшие макроскопические связи увеличивают внутреннюю упорядоченность системы, что проявляется в возникновении интерференционных пятен в световой волне, прошедшей через турбулентность. Важность анализа турбулентности следует из того, что большая часть Вселенной заполнена веществом, находящимся в турбулентном движении.

Ячейки Бенара представляют собой структуры, напоминающие пчелиные соты, которые возникают в вязкой жидкости, подогреваемой снизу, после того, как градиент температуры превышает некоторое критическое значение. Весь слой жидкости распадается на одинаковые вертикальные шестигранные призмы с определенным соотношением между высотой и стороной. В центральной области призмы жидкость поднимается, а вблизи вертикальных граней опускается. В приповерхностном слое жидкость растекается от центра к краям, а в придонном - от границ призм к центру. При таком типе согласованного движения поток энтропии из системы максимален. Грандиозная структура подобных ячеек имеется на Солнце. Она образует конвективную зону сферической формы толщиной 10⁵ км. Именно эта зона обеспечивает перенос на поверхность Солнца энергии, высвобождающейся за счет термоядерных реакций в его недрах.

При непрерывном облучении металлов потоком частиц высокой энергии ионы выбиваются из узлов кристаллической решетки. Возникающие вакансии объединяются, образуя частички пустоты - поры. Обычно пространственное распределение вакансионных пор случайно и близко к равномерному. Однако при определенных условиях может образовываться решеточное распределение пор, симметрия и кристаллографические оси которого являются такими же как и у решетки основного кристалла. Впервые решетку вакансионных пор (ее также называют сверхрешеткой) наблюдал в 1971 году Д.Эванс в чистом молибдене, облучаемом при 870 С ионами азота с энергией - 2 МэВ.

Примерами пространственно-временных структур являются режим генерации лазера и колебательные химические реакции. Возникновение когерентного излучения в лазере происходит при достижении мощности накачки (подводимой энергии) порогового значения. Атомы или молекулы рабочего тела лазера, излучавшие до этого независимо друг от друга, начинают испускать свет согласованно, в одной фазе.

Фазовый переход в физике означает скачкообразное изменение физических свойств при непрерывном изменении внешних параметров. Неравновесный фазовый переход определяется флуктуациями. Они нарастают, увеличивают свой масштаб до макроскопических значений. Возникает неустойчивость и система переходит в упорядоченное состояние. Неравновесные фазовые переходы различной природы имеют общие характеристики. Прежде всего, упорядочение связано с понижением симметрии, что обусловлено появлением ограничений из-за дополнительных связей (корреляций) между элементами системы. Л. Д. Ландау в 1937 г. предложил общую трактовку фазовых переходов 2-го рода как изменение симметрии. В точке перехода симметрия меняется скачком. Также общим свойством кинетических фазовых переходов является наличие фундаментальной макроскопической переменной, позволяющей дать единое описание процесса упорядочения - параметра порядка. По своему физическому смыслу параметр порядка - это корреляционная функция, определяющая степень дальнего порядка в системе.

3 Понятие динамического хаоса было введено в 1975 г. американскими учеными Т.Ли и Дж.Йорком.

Теория катастроф. [16,17]

Возникновение диссипативных структур носит пороговый характер. Неравновестная термодинамика связала пороговый характер с неустойчивостью, показав, что новая структура всегда является результатом раскрытия неустойчивости в результате флуктуаций. Можно сказать о ╚порядке через флуктуации╩;. С математической точки зрения, неустойчивость и пороговый характер самоорганизации связаны с нелинейностью уравнений. Для линейных уравнений существует одно стационарное состояние, для нелинейных - несколько. Таким образом, пороговый характер самоорганизации связан с переходом из одного стационарного состояния в другое. Потеря системой устойчивости называется катастрофой. Точнее, катастрофа - это скачкообразное изменение, возникающее при плавном изменении внешних условий. Математическая теория, анализирующая поведение нелинейных динамических систем при изменении их параметров, называется теорией катастроф. Ее основой является новая область математики - теория особенностей гладких отображений, являющаяся далеким обобщением задач на экстремум в математическом анализе. Начало было положено в 1955 г. американским математиком Г.Уитни. После работ Р.Тома (давшего теории название) началось интенсивное развитие как самой теории катастроф, так и ее многочисленных приложений. Значение элементарной теории катастроф состоит в том, что она сводит огромное многообразие ситуаций к небольшому числу стандартных схем, которые можно детально исследовать раз и навсегда. Различают 7 канонических катастроф для функций одной или двух переменных и числа управляющих параметров, не превышающих 5.

Траектория нелинейной динамической системы в многомерном фазовом пространстве ведет себя необычным образом. При определенных условиях существует область, которая притягивает к себе все траектории из окрестных областей. Она была названа ╚странным аттрактором╩; Лоренца. Попадая в нее сколь угодно близкие траектории расходятся и имеют очень сложную и запутанную структуру. В странном аттракторе Лоренца выбранное наугад решение будет блуждать и со временем пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора. По топологии странный аттрактор представляет собой, так называемое, фрактальное множество, характеризующееся дробной размерностью. Быстрое расхождение двух близких в начальный момент времени траекторий означает очень большую чувствительность решений к малому изменению начальных условий. Этим обусловлена большая трудность или даже невозможность долгосрочного прогноза поведения нелинейных динамических систем.

Теория катастроф определяет область существования различных структур, границы их устойчивости. Для изучения же динамики систем необходимо знать каким именно образом новые решения уравнений ╚ответвляются╩; от известного решения. Ответ на такие вопросы дает теория бифуркаций (разветвлений), то есть возникновения нового решения при критическом значении параметра. Момент перехода (катастрофический скачок) зависит от свойств системы и уровня флуктуаций.

В реальных условиях при углублении неравновесности в открытой системе возникает определенная последовательность бифуркаций, сопровождающаяся сменой структур. Типичным примером такого сценария является развитие турбулентности с чередующимися типами все более усложняющихся движений. Состояние системы в момент бифуркации является неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути. Финальным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса.

Иллюстрацией перехода к нему является логистическое уравнение:

X_n+1=CX_n(I - X_n)

Для наглядности рассмотрим биологическую трактовку этого уравнения: изолированно живет популяция особей нормированной численностью X_n. Через год появляется потомство численностью X_n+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения - СХ_n где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом - (СХ_n)²_. Зависимость численности популяции от параметра С приведена на рисунке.

Линии показывают значения X_n при больших n (n->oo). При С < 1 популяция с ростом n вымирает. В области 1 < С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х₀ = 1 - 1/c. Это область стационарных решений. Затем в диапазоне 3 < С < 3.57 появляются бифуркации, разветвление кривых на две. Численность популяции колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова становится малой. Далее происходит перекрывание областей различных решений и поведение системы становится хаотическим. Динамические переменные X_n принимают значения сильно эависящие от начальных. При расчетах на ЭВМ для близких начальных значений С решения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самой ЭВМ. М.Фейгенбаум установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических, гидродинамических, химических и т.д. систем. Наряду с последовательностями удвоений периода (каскадами Фейгенбаума) имеются другие пути перехода к хаосу, когда, например, длительные периоды упорядоченного движения чередуются со вспышками беспорядка.