Определение площадей
Аналитическое определение площади. По координатам точек i замкнутой ломаной линии, ограничивающей участок местности на плане или карте, вычисляется площадь этого участка по формулам:
т. е. площадь участка S равняется половине суммы произведений ординат каждой точки на разность абсцисс предыдущей и последующей точек или половине суммы произведений абсциссы каждой точки на разность ординат последующей и предыдущей точек. Графическое определение площади. Графический способ заключается в разбивке площади на простейшие фигуры, например, треугольники, а затем в суммировании площадей простейших фигур. На рис. 56 приводится площадка, ограниченная криволинейным контуром. Контур делится прямыми отрезками 1-2, 2-3, 3-4 и т. д., которые вписываются в этот контур. Затем в произвольной точке устанавливается полюс Р, точки 1, 2, 3 соединяются с полюсом и таким образом получаются треугольники, площадь которых определяется по известной формуле. Общая площадь, ограниченная криволинейным контуром будет равна S = 0,5(а 1h1 + а 2h2 + а 3h3 + …+ а 10h10).
Рис. 56. Графический способ определения площадей Определение площади с использованием палетки. Палетка может быть квадратной, точечной и линейной (рис.9.9). Квадратная палетка – это вычерченная на кальке квадратная сетка со стороной квадрата a. Квадратная палетка приводится на рис. 57а. Площадь одного квадрата составляет s = a 2. Палетка накладывается на определяемую площадь и подсчитывается число целых квадратов m 1 внутри контура определяемой площади, а затем из неполных квадратов визуально составляются полные квадраты n 1.
Рис. 57. Палетки: а) –квадратная; б) – точечная; в) – линейная Далее палетка смещается, разворачивается на 30 – 60º и определяется эта же площадь второй раз, т. е. имеем m 2 и n 2. Площадь из первого определения S 1 = (m 1 + n 1) s, а из второго S 2 = (m 2 + n 2) s. Из двух определений площади вычисляется среднее значение, если расхождение между этими определениями не превышает 1:100 измеряемой площади. Кроме квадратной палетки применяются точечная и линейная палетки. Точечная палетка представляет собой кальку, на которой нанесены точки вершин квадратов со стороной a. Точечная палетка показана на рис. 57б. При измерении площади подсчитывают число точек m 1, находящихся внутри площадного контура, и число точек n 1 на этом контуре и в непосредственной близи от него. Каждой точке из числа m 1 принадлежит площадка s = a 2, а из числа n 1 – 0,5 s = 0,5 a 2. Тогда измеренная площадь составит S 1 = (m 1 + 0,5 n 1) s. Палетка смещается, разворачивается на 30 – 60º и определяется S 2 = (m 2 + 0,5 n 2) s. Из двух определений площади вычисляется среднее значение, если расхождение между этими определениями не превысит 1:100 площади. Линейная палетка – это параллельные линии, нанесенные на кальке (прозрачной бумаге) на одинаковом расстоянии между собой. Эта палетка приведена на рис. 57 в. Палетку накладывают на контур измеряемой площади и подсчитывают сумму длин параллельных линий, которые находятся внутри этого контура. Площадь вычисляется по формуле
где n – число параллельных линий в пределах измеряемой площади; a – расстояние между параллельными линиями. Палетка смещается, разворачивается на 30 – 60º и выполняется второе определение площади S 2. Из S 1 и S 2находится среднее значение, если относительная погрешность не превышает 1:100 определяемой площади. Определение площадей при помощи планиметра. Планиметр – это механический прибор, при помощи которого определяется площадь, заключенная внутри контуров объектов на планах и картах. Он состоит из полюсного и обводного рычагов, счетного механизма и обводной лупы (рис. 58). По счетному механизму берется четырехзначный отсчет. В нашем примере стрелка на механизме находится между 6 и 7 тысячами, следовательно, отсчет начинается с 6 тысяч. Нуль шкалы "0 – 10" располагается между четырьмя и пятью сотнями и между тремя и четырьмя десятками, а на шкале "0 – 10" седьмой штрих совпадает со штрихом на соседней шкале. Таким образом отсчет по счетному механизму составляет 6437. Обводная лупа устанавливается в исходной точке А контура (точка выбирается произвольно) и по счетному механизму берется отсчет О1, равный, например, 6437 (рис. 58). Обводной шпиль ведется по контуру (по ходу часовой стрелки) и останавливается в исходной точке А, берется отсчет О2, допустим, равный 6556. Разность отсчетов О2 – О1 = 0119 делений дает площадь контура в делениях планиметра.
Рис. 58. Полярный планиметр ПП-М
Если известна цена одного деления планиметра с, м 2 /дел, т. е. число квадратных метров в одном делении планиметра, тогда площадь S = c· (О2 – О1), м 2. В нашем примере, если с = 3 м2/дел, то S = 119 дел ·3 м 2 /дел = 357 м 2. Цена деления планиметра вычисляется путем тройного обвода известной площади SИ по формуле
где SИ– известная площадь квадрата, окружности или др. правильной фигуры;
Средняя разность D О вычисляется, если разности отсчетов DО1 = О2 – О1, DО2 = О3 – О2 и DО3 = О4 – О3 отличаются не более чем на 2 единицы при площади до 200 делений, 3 единицы при площади 200 – 2000 делений и 4 единицы при площади свыше 2000 делений. Пример определения цены деления приводится в табл. 3. Таблица 3 Определение цены деления планиметра
Контур площади обводится дважды планиметром и вычисляется площадь в такой же таблице по формуле
где с – цена деления планиметра; DО – средняя разность отсчетов по планиметру при двух обводах площади. Таблица 4 Определение площади
|
, 
,
,
,
– средняя разность отсчетов по планиметру.
,
