Производная 2балл

1. Определите какой угол образует с осью OX касательная, проведенная к графику функции у=х² в точке с абсциссой 0,5.

2. Определите какой угол образует с осью OX касательная, проведенная к графику функции у=-3х³ в точке с абсциссой .

3. Определите какой угол образует с осью OX касательная, проведенная к графику функции у=0,2х⁵ в точке с абсциссой (-1).

4. Определите какой угол образует с осью OX касательная, проведенная к графику функции у=-0,25х⁴ в точке с абсциссой 0.

5. Определите какой угол образует с осью OX касательная, проведенная к графику функции у=-7х³+10х²+х-12 в точке с абсциссой 0.

6. Определите какой угол образует с осью OX касательная, проведенная к графику функции у= в точке с абсциссой 0,5.

7. Определите какой угол образует с осью OX касательная, проведенная к графику функции у= в точке с абсциссой 1.

8. Определите какой угол образует с осью OX касательная, проведенная к графику функции у= в точке с абсциссой 3 .

9. Определите какой угол образует с осью OX касательная, проведенная к графику функции у= в точке с абсциссой 2.

10. Определите какой угол образует с осью OX касательная, проведенная к графику функции в точке с абсциссой .

11. Определите какой угол образует с осью OX касательная, проведенная к графику функции в точке с абсциссой .

12. Найдите уравнение касательной к кривой , которая параллельна прямой .

13. Найдите уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой .

14. В каких точках касательные к кривой параллельны прямой ?

15. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции , параллельна прямой .

16. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции , параллельна прямой .

17. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции , параллельна прямой .

18. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции , параллельна прямой .

19. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции , параллельна прямой .

20. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции , параллельна прямой .

 

 

Балла

Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции

1. .

2.

3.

4. .

5.

6.

7.

8. .

9. .

10. .

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

 

Задачи на оптимизацию 3 балл

1. Прямоугольный участок площадью 2401 м² огораживается забором. Каковы должны быть размеры участка, чтобы его периметр был наименьшим?

2. Каковы должны быть стороны прямоугольного участка, периметр которого равен 120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей?

3. Нужно огородить участок прямоугольной формы длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

4. Площадь прямоугольника составляет 16 см². Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр был наименьшим?

5. Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью 2500 м². Каковы должны быть ее размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки рабицы?

6. Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение должно быть наибольшим.

7. Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наибольшее значение.

8. Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

9. Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

10. Известно, что одно из двух чисел на 36 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

11. Известно, что одно из двух чисел на 28 меньше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

12. Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

13. Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим.

14. Периметр прямоугольника составляет 56см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

15. Периметр прямоугольника составляет 72см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

16. Площадь прямоугольника составляет 64см². Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

17. На странице текст должен занимать 384 см². Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, левое и правое – по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

18. Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник периметром 40 км?

19. Найти такое число, чтобы разность между этим числом и его квадратом была наибольшей.

20. Определить размеры открытого бассейна объемом 256 м³, имеющего квадратное дно, так чтобы на облицовку его стен и дна было израсходовано наименьшее количество материала.

 

Интеграл

1 балл 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.	1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
2 балл
3 балл 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Вычислить

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Найти производную

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Геометрия

1. Высота цилиндра 3 м, а радиус основания равен 2 м. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра, площадь боковой поверхности и объем цилиндра.
2. Образующая усеченного конуса равна 20 см, а радиусы оснований – 18 см и 30 см. Найдите высоту, площадь боковой поверхности и объем усеченного конуса.
3. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 45⁰. Найдите площадь основания конуса.
4. Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 11 см, а образующая равна 10 см. Найдите площадь осевого сечения.
5. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см.
6. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м², а площадь основания - 5 см². Найдите высоту цилиндра.
7. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.
8. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.
9. Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см². Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.
10. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60⁰. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

11. Основанием призмы служит ромб со стороной 2 и острым углом 30⁰. Найти объем призмы, если ее высота равна 3.

12. Основанием призмы является треугольник со сторонами 5 и 4 и углом 30⁰ между ними. найти объем призмы, если высота 0,2.

13. Основание призмы – прямоугольник со сторонами 3 и 4. Найти объем призмы, если ее высота равна диагонали прямоугольника.

14. Основание призмы – квадрат со стороной . Найти объем призмы, если ее высота равна удвоенной диагонали квадрата.

15. В прямой треугольной призме две стороны основания равны и 3, а синус угла между ними равен . Найти объем призмы, если боковое ребро равно 4.

16. Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб со стороной 3 и острым углом 45⁰. Найти объем пирамиды, если ее высота равна .

17. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7, а сторона основания равна 8. Определить боковое ребро.

18. Найти диаметр шара, если его объем равен .

19. Объем конуса равен 162p. Найти диаметр основания конуса, если его высота равна 6.

20. Площадь основания цилиндра равна 256, а его высота равна . Найти полную поверхность цилиндра.