Геометрическая интерпретация оптимизационных задач линейного программирования

Пусть необходимо найти оптимальный план производства двух видов продукции (x₁ и x₂), т.е. такой план, при котором целевая функция (общая прибыль) была бы максимальной, а имеющиеся ресурсы использовались бы наилучшим образом. Условия задачи приведены в таблице:

Оптимизационная модель задачи запишется следующим образом:

а) целевая функция:

б) ограничения:

2х₁ + х₂ 12 (ограничение по ресурсу А);

0,1х₁ + 0,5х₂ 4 (ограничение по ресурсу B);

3,5х₁ + х₂ 18 (ограничение по ресурсу C).

в) условие неотрицательности переменных:

Данную и подобные оптимизационные модели можно продемонстрировать графически (Рис.3.3.).

Преобразуем нашу систему ограничений, найдя в каждом из уравнений x₂, и отложим их на графике. Любая точка на данном графике с координатами x₁ и x₂ представляет вариант искомого плана. Однако ограничение по ресурсу А сужает область допустимых решений. Ими могут быть все точки, ограниченные осями координат и прямой АА, т.к. не может быть израсходовано ресурса А больше, чем его на предприятии имеется. Если точки находятся на самой прямой, то ресурс используется полностью.

Аналогичные рассуждения можно привести и для ресурсов В и С. В результате условиям задачи будет удовлетворять любая точка, лежащая в пределах заштрихованного многоугольника. Данный многоугольник называется областью допустимых решений.

Рис. 3.3. Геометрическая интерпретация оптимизационной задачи линейного программирования

Однако нам необходимо найти такую точку, в которой достигался бы максимум целевой функции. Для этого построим произвольную прямую 4Х₁+5Х₂=20, как Х₂=4-4/5Х₁ (число 20 произвольное). Обозначим эту линию РР. В каждой точке этой линии прибыль одинакова. Перемещая эту линию параллельно ее исходному положению, найдем точку, которая удалена от начала координат в наибольшей мере, однако, не выходит за пределы области допустимых решений. Это точка М₀, которая лежит на вершине многоугольника. Координаты этой точки () и будут искомым оптимальным планом.