Задача максимизации объема выпуска продукции

Задача максимизации объема производства состоит в том, чтобы определить максимальный объем выпуска продукции при заданных затратах ресурсов. Математически она формулируется следующим образом:

Y=f(x₁,x₂,…,x_n)®max (6-19)

при условиях

q₁*x₁+q₂*x₂+…+q_n*x_n=C, (6-20)

x₁>=0, x₂>=0,…,x_n>=0 (6-21)

Геометрически это означает, что нужно найти изокванту производственной функции y=f(x₁,x₂), которая касалась бы заданной изокосты q₁*x₁+q₂*x₂=C.

Для каждой изокванты характерны следующие свойства:

– изокванта, лежащая выше и правее другой, соответствует большему количеству произведенной продукции;

– изокванты не пересекаются;

– в экономической области изокванты имеют отрицательный наклон, т.е. они обращены выпуклостью к началу координат.

Рассмотрим некоторые производственные функции, которые часто используются при анализе поведения производителя:

· Линейная производственная функция имеет вид:

y=a₁*x₁+a₂*x₂+…+a_n*x_n,

для которой а₁>0, a₂>0,…, a_n>0, т.е. предполагается линейная зависимость выпуска продукции от затрат факторов производства;

· Производственнная функция с постоянными параметрами. Такая функция задается соотношением:

y=min(x₁/a₁,x₂/a₂,…,x_n/a_n), где a₁>0, a₂>0,…, a_n>0;

· Производственная функция Кобба-Дугласа. Фyнкция имеет вид y=A_*x₁^a1_*x₂^a2_*…_*x_n^an, где A>0, 0<a_j<1, j=1,2,…,n (именно этот тип производственных функций будет рассмотрен в качестве примера в моей курсовой);

· Производственная функция с постоянной эластичностью замены (CES). Такая функция имеет вид:

y=A*(B₁*x₁^-p+…+B_n*x_n^-p)^-g/p, для которой A>0, 0<B_j<1, j=1,2,…,n..

 

Задачу максимизации объема выпуска продукции будем решать также методом множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа данной задачи будет иметь вид:

F(x₁,x₂,…,x_n,l₂)=f(x₁,x₂,…,x_n)+l₂*(C-åq_i*x_i).

Условиями оптимальности будут:

F/ x_j= f/ x_j-l₂*q_j=0, j=1,2,…,n;

F/ l₂=C-åq_i*x_i=0

или

f/ x_j=l₂*q_j, j=1,2,…,n; åq_i*x_i=C (6-22)

В точке максимума х^* будут иметь место соотношения, аналогичные соответственным соотношениям в задаче минимизации издержек, а именно:

· предельные производительности ресурсов пропорциональны их ценам с коэффициентом пропорциональности l^*₂, т.е.:

f/ x_j=(l^*₂)*q_j, j=1,2,…,n;

· отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению их цен, т.е.

(f/ x_j): (f/ x_i)=q_j:q_i; j,i=1,2,…,n, j¹i;

· отношение предельных производительностей ресурсов к их ценам равны между собой, т.е.

(f/ x_j)=l^*₂, j=1,2,…,n.

Определим экономический смысл множителя l^*₂. Полный дифференциал производственной функции будет:

dy=(f/ x₁)*dx₁+(f/ x₂)*dx₂+…+(f/ x_n)*dx_n. (6-23)

Так как в точке максимума х^* имеет место соотношение:

f/ x_j=(l^*₂)*q_j (j=1,2,…,n), то

dy=(l^*₂)*(q₁*dx₁+q₂*dx₂+…+q_n*dx_n)=(l^*₂)*dZ=(l^*₂)*dC. (6-24)

Отсюда получаем dy/dZ=dy/dC=l^*₂. (6-25)

Таким образом, l^*₂ выражает дополнительный выпуск продукции в расчете на единицу общих затрат, т.е. он выражает общую предельную производительность ресурсов.

Таким образом, можно заключить, что l^*₁ и l^*₂ для рассматриваемых задач по смыслу взаимообратные. Поэтому указанные две задачи называют взаимными задачами для производителя.

Если в качестве С в задаче максимизации выпуска продукции взять Z^*=Z_min, полученный в задаче минимизации издержек при у=у₀, то максимальный объем выпуска продукции у^*=у₀, l^*₂=1/l^*₁, а точки оптимума совпадают.

 

Заключение

Технологическая связь между выпуском продукции и затратами задается функцией y=f(x)=f(x₁,x₂,…,x_n), зависящей от n переменных, которую называют производственной функцией. А функцию С(y)=Z_min(y)=åq_i*x^*_i(y) называют функцией издержек.

Задача минимизации издержек на производство продукции:

Z=åq_i*x_i®min

и задача максимизации объема выпуска продукции:

y=f(x₁,x₂,…,x_n)®max

являются взаимными задачами для производителя.

Причем в точке оптимума как издержек, так и объема выпуска продукции наблюдаются следующие соотношения:

· предельные производительности ресурсов пропорциональны их ценам;

· отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению их цен;

· отношение предельных производительностей ресурсов к их ценам равны между собой.

Геометрическое решение задачи определения максимально возможного выпуска при имеющихся у производителя денежных средствах, представленных изокостой, и заданной производственной функции, представленной семейством изоквант, состоит в следующем: нужно найти точку касания изокосты с наиболее удаленной изоквантой.

 

Контрольные вопросы к теме №6

1. Как определяется производственная функция.

2. Что такое технологическое множество.

3. Какие типы производственных функций вы знаете.

4. Дайте определение предельного продукта.

5. Как определяются средняя ресурсоотдача и ресурсоемкость.

6. Изокванта и ее свойства.

7. Изокоста и ее свойства.

8. Как определяются функции предложения.

9. Дайте классификацию издержек производства.

10. Как учитывается научно-технический прогресс при моделировании производства.