МАТЕРИАЛЫ ЛЕКЦИИ 1

Пересечение кривой второго порядка и прямой. Асимптотические направления.

Литература. [1]§ 32.

 

Под кривой второго порядка понимается множество точек, координаты которых в некоторой аффинной системе координат являются решениями алгебраического уравнения второго порядка с двумя неизвестными:

, (*)

где коэффициенты не равны нулю одновременно. Было также показано, что порядок уравнения алгебраической кривой не зависит от выбора системы координат.

Пусть даны кривая второго порядка g своим общим уравнением (*) и прямая l, проходящая через точку и параллельная вектору требуется найти их точки пересечения. Рассмотрим параметрические уравнения прямой l:

(1)

Заменим значения х и у в уравнении g на их выражения (1), а затем решим полученное уравнение относительно параметра t. Найденные корни будут параметрами точек пересечения g и l.

После преобразований получим:

, (2)

, (3)

, (4)

. (5)

Если P ¹ 0, то (2) представляет собой квадратное уравнение, у которого либо два действительных, либо один, либо два комплексно сопряженных корня. Поэтому g и l либо имеют две общие точки, либо одну или, как говорят, две совпавшие вещественные точки, либо ни одной вещественной, но, как принято говорить, две так называемые комплексно сопряженные точки. Если , то уравнение (2) ‑ линейное, оно имеет один вещественный корень. В этом случае прямая и кривая обладают единственной общей точкой. Ясно, что этот случай, по сути, отличается от предыдущего случая двух совпавших вещественных точек. Если , а R ¹ 0, то уравнение (2) не имеет корней, а g и l - общих точек. И, наконец, если Р = Q = R = 0, то любое значение t - корень уравнения, а прямая l всеми точками принадлежит g.

Из формулы (3) следует, что коэффициент Р уравнения (2) не зависит от координат начальной точки прямой. Он является однородным многочленом второго порядка от координат a и b направляющего вектора прямой. Поэтому, если координаты некоторого вектора обращают коэффициент Р в нуль, то он также равен нулю, при подстановке в (3) координат a и b любого вектора, коллинеарного .

Определение 1. Прямая l называется прямой асимптотического направления кривой g, если координаты любого ее направляющего вектора обращают коэффициент Р уравнения (2) в нуль.

Легко объяснить, если координаты направляющего вектора прямой обращая в нуль коэффициент Р в некоторой системе координат, то координаты этого вектора будут также обладать таким свойством в любой другой системе координат. Действительно, как было показано выше, прямая имеет асимптотическое направление в том и только в том случае, когда либо не имеет с кривой второго порядка g общих точек, либо имеет только одну такую точку, либо целиком ей принадлежит g. Поэтому свойство прямой иметь асимптотическое направление имеет геометрический смысл, не зависящий от выбора системы координат.

Определение 2. Любой направляющий вектор прямой асимптотического направления будем называть вектором асимптотического направления, а множество таких коллинеарных между собой ненулевых векторов ‑ асимптотическим направлением.

Из определений 1 и 2, а также из формулы (3) следует, что вектор тогда и только тогда имеет асимптотическое направление, когда он отличен от нулевого и

. (6)

Мы получили однородное уравнение второго порядка с неизвестными a и b. Если мы нашли какое-либо его ненулевое решение , то все пары чисел , где , также служат решениями (6). Поэтому вектор определяет асимптотическое направление прямой. Выясним, сколько асимптотических направлений может иметь кривая второго порядка. Для этого найдем число не пропорциональных между собой решений (6).

1) . Тогда и уравнение (6) преобразуется к виду: . Оно имеем два не пропорциональных между собой решения: (1; 0) и (0; 1), все решения имеют вид: (t; 0) и (0; t), где t - любое действительное число, отличное от нуля. Кривая имеет два асимптотических направления.

2) . Тогда пара чисел (t; 0), где t ¹ 0, не является решением уравнения (19.6). Действительно, если подставить эти числа в уравнение, то получим противоречивое равенство: . В рассматриваемом случае для любого решения уравнения (6) b ¹ 0. Разделив это уравнение на b, мы не потеряем его решений. Обозначим , тогда:

. (7)

Мы получили квадратное уравнение относительно l. Его дискриминант D равен: . Обозначим через D определитель:

. (8)

Легко видеть, что . Таким образом, если D < 0, то уравнение (7) имеет два решения, а кривая g ‑ два асимптотических направления. Если D = 0, то такое направление одно, а в случае D > 0 кривая не имеет асимптотических направлений.

3) , но для отыскания асимптотических направлений уравнение (6) следует делить на . Аналогично рассуждая, придем к тому же результату: если D < 0 кривая имеет два асимптотических направления, если , то это направление одно, если D > 0, то таких направлений у кривой нет. В первом случае, когда кривая имела два асимптотических направления, выполнено неравенство: .

Число асимптотических направлений кривой зависит от знака числа D. Покажем, что знак и условие равенства нулю этого числа не зависит от выбора аффинной системы координат. Воспользуемся формулами перехода от одной аффинной системы координат к другой:

(9)

где

(10)

Для определения коэффициентов уравнения кривой в новой системе координат следует в общем уравнение (*) кривой второго порядка заменить неизвестные на их выражения через по формулам (9). В новой системе координат уравнение кривой примет вид:

при этом:

Отсюда, после соответствующих вычислений получим:

(11)

(все вычисления проведите самостоятельно). Равенство нулю определителя D и его знак не зависят от выбора аффинной системы координат на плоскости. Полученный результат можно было предвидеть, так как количество асимптотических направлений является геометрическим свойством кривой второго порядка и оно одинаково в любой системе координат. Доказана теорема:

Теорема 1. Кривая второго порядка в том и только в том случае имеет два асимптотических направления, когда в некоторой аффинной системе координат определитель отрицателен. Такое направление одно, если этот определитель равен нулю. Кривая не имеет асимптотических направлений, если этот определитель положителен.

Будем считать, что уравнение кривой мы рассматриваем в прямоугольной декартовой системе координат. Формулы (9) перехода от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой имеют вид

где в зависимости от ориентаций ортонормированных базисов этих систем (см. § 9). В этом случае из равенства (19.11) получим:

.

Таким образом, при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой значение определителя D не меняется. Определитель D носит название первого инварианта кривой второго порядка.

Нетрудно определить, что для эллипса первый инвариант D положителен. Для этого достаточно найти этот инвариант в случае канонического уравнения эллипса. Кривые, для которых первый инвариант положителен, называются кривыми эллиптического типа. Такие кривые не имеют асимптотических направлений.

Рассмотрим гиперболу, заданную своим каноническим уравнением: . Тогда инвариант D имеет вид: . Так как D < 0, то гипербола имеет два асимптотических направления. В этом случае уравнение (7) принимает вид: . Его корни равны: . Поэтому векторы асимптотических направлений имеют следующие координаты: и , где t - любое действительное число, отличное от нуля. Эти направления параллельны асимптотам гиперболы (см. § 17). Кривые, для которых первый инвариант отрицателен, называются кривыми гиперболического типа. Такие кривые имеют два асимптотических направления.

Рассмотрим ее каноническое уравнение параболы: и вычислим для нее первый инвариант: . Таким образом, парабола имеет одно асимптотическое направление. Для его нахождения составим уравнение (19.7): . Координаты векторов асимптотического направления параболы равны: { t; 0}, где t ‑ любое действительное число, отличное от нуля. Эти векторы параллельны оси параболы. Кривые, для которых первый инвариант равен нулю, называются кривыми параболического типа. Такие кривые имеют одно асимптотическое направление.