Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод итераций. Приведем систему (2.8) к виду, удобному для итераций





Приведем систему (2.8) к виду, удобному для итераций

 

xk = φ k (x 1, x 2, …, xn), 1 ≤ kn. (2.11)

 

Выберем начальное приближение к корню (x 10, x 20, …, xn 0) и последующие приближения вычислим по формулам

 

xks +1 = φ k (x 1 s, x 2 s, …, xns), 1 ≤ kn, s = 0, 1, 2, … (2.12)

 

Приведем без доказательства достаточные условия сходимости метода итераций (более строгое изложение можно найти, например, в [1, 2, 3, 7, 9]). Обозначим точное решение системы (2.8) . Назовем ε-окрестностью точки множество точек x = (x 1, x 2, …, xn), удовлетворяющих условиям

 

.

 

Теорема 2.4. Пусть в некоторой ε-окрестности точного решения частные производные существуют и удовлетворяют одному из трех неравенств

 

(2.13)

 

где . Если начальное приближение принадлежит ε-окрестности точного решения, то метод простой итерации (2.12) сходится к точному решению.

Пример 2.9. Решить систему уравнений методом простых итераций

Решение. Выразим из первого уравнения y, а из второго — x:

 

Проверим условие сходимости (2.13). Найдем частные производные

Так как при любых допустимых значениях переменных верно неравенство

,

то не существует значений аргументов, при которых выполняются условия (2.13). Следовательно, для системы

нельзя гарантировать сходимость метода итераций.

Выразим теперь из первого уравнения переменную x, а из второго — y и найдем частные производные:

 

Очевидно, что в окрестности точки x = 0,641; y = 0,801 условия (2.13) также не выполняются.

Тем не менее, примем за начальные значения x = 0,641; y = 0,801 и выполним итерации. Заполним ячейки, как показано в таблице 2.11, выделим диапазон B 2: C 2 и протянем маркером заполнения вниз до 402-й строки(!).

В таблице 2.12 приведены результаты расчетов. Они показывают, что метод итераций сходится, хотя и очень медленно.

Таблица 2.11

  A B C
  k x y
    0,641 0,801
    =C2^2 =COS(B2)

 

Таблица 2.12

  A B C D E
  k x y
    0,6410000000 0,8010000000 -0,0006010000 0,0004981615
    0,6416010000 0,8014981615 -0,0007983029 -0,0003595411
….
    0,6417003984 0,8011234577 -0,0000983960 -0,0000443290
    0,6417143981 0,8010706623 0,0000001921 0,0000000865
    0,6417142061 0,8010707489 -0,0000001387 0,0000001150

 







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 540. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Образование соседних чисел Фрагмент: Программная задача: показать образование числа 4 и числа 3 друг из друга...

Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Краткая психологическая характеристика возрастных периодов.Первый критический период развития ребенка — период новорожденности Психоаналитики говорят, что это первая травма, которую переживает ребенок, и она настолько сильна, что вся последую­щая жизнь проходит под знаком этой травмы...

Психолого-педагогическая характеристика студенческой группы   Характеристика группы составляется по 407 группе очного отделения зооинженерного факультета, бакалавриата по направлению «Биология» РГАУ-МСХА имени К...

Общая и профессиональная культура педагога: сущность, специфика, взаимосвязь Педагогическая культура- часть общечеловеческих культуры, в которой запечатлил духовные и материальные ценности образования и воспитания, осуществляя образовательно-воспитательный процесс...

Устройство рабочих органов мясорубки Независимо от марки мясорубки и её технических характеристик, все они имеют принципиально одинаковые устройства...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия