Метод секущих

Метод секущих [9] может быть получен из метода Ньютона при замене производной приближенным выражением — разностной формулой:

 

 

(2.7)

 

В формуле (2.7) используются два предыдущих приближения x_n и x_{n –1}. Поэтому при заданном начальном значении x ₀ необходимо вычислить следующее приближение x ₁ каким-нибудь методом, например, методом Ньютона с приближенной заменой производной по формуле

 

 

Алгоритм метода секущих:

1) Заданы начальное значение x ₀ и погрешность ε. Вычислим
x ₁ = x ₀ – f (x ₀)ε/(f (x ₀ + ε) – f (x ₀));

2) Для n = 1, 2, … пока выполняется условие | x_n – x_{n –1}| > ε вычисляем x_{n +1} по формуле (2.7):

.

Создадим макрос — функцию метода секущих в программе Excel для примера 2.7:

 

Function f(ByVal x)

f = Sin(5 * x) + x ^ 2 - 1

End Function

Function Sec(ByVal x0, eps, Kmax)

k = 0

x1 = x0 - f(x0) * eps / (f(x0 + eps) - f(x0))

1 x2 = (f(x1) * x0 - x1 * f(x0)) / (f(x1) - f(x0))

absErr = Abs(x2 - x1)

If (absErr < eps) Or (k > Kmax) Then GoTo 5

x0 = x1

x1 = x2

k = k + 1

GoTo 1

5 Sec = x1

End Function

Введем в произвольную ячейку формулу =Sec(0,2;0,001;100), получим значение 0,24458888, которое с заданной точностью (тремя знаками после запятой) совпадает с корнем, найденным методом Ньютона.

Решение примера 2.7 методом секущих в программе Mathcad:

 

 

 

 

Эти результаты с заданной точностью совпадают со значениями, полученными по методу Ньютона.

Программа на C ++ для решения уравнения примера 2.7 методом секущих:

 

#include <iostream.h>

#include <math.h>

double f(double x);

typedef double (*PF)(double);

double sec(PF f,double x0,double eps, int Kmax);

int main(){

double x0, x, eps;PF pf; int Kmax;

cout << "\n x0 = "; cin >> x0;

cout << "\n eps = "; cin >> eps;

cout << "\n Kmax = "; cin >> Kmax;

pf = f;

x = sec(pf,x0,eps, Kmax); cout << "\n x = " << x;

cout << "\n Press any key & Enter "; cin >> x;

return 0;

}

double f(double x){

double r;

r = sin(5*x)+x*x-1;

return r;

}

double sec(PF f, double x0, double eps,int Kmax){

double x2, x1, xerr; int k = 0;

x1 = x0 - f(x0)*eps/(f(x0+ eps) - f(x0));

do{ k = k + 1; if(k > Kmax)break;

x2 = (f(x1)*x0 - x1*f(x0))/(f(x1) - f(x0));

xerr = fabs(x2 - x1); x0 = x1; x1 = x2;

}while (xerr > eps);

return x2;

}

 

Приведем результат расчета корня уравнения из примера 2.7:

 

x0 = 0.2

eps = 0.01

x = 0.24462

Press any key & Enter