Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть найдено приближенное значение корня уравнения f (x) = 0, обозначим его x_n. Расчетная формула метода Ньютона для определения очередного приближения x_{n +1} может быть получена двумя способами.

Первый способ выражает геометрический смысл метода Ньютона и состоит в том, что вместо точки пересечения графика функции y = f (x) с осью OX, мы ищем точку пересечения с осью OX касательной, проведенной к графику функции в точке (x_n, f (x_n)) как показано на рис. 2.6. Уравнение касательной имеет вид .

Рис. 2.7. Метод Ньютона (касательных)

 

В точке пересечения касательной с осью OX переменная y = 0. Приравнивая y нулю, выразим x и получим формулу метода касательных:

(2.6)

Второй способ. Разложим функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = x_n:

Ограничимся линейными относительно (x – x_n) слагаемыми, приравняем нулю f (x) и, выразив из полученного уравнения неизвестное x и обозначив его через x_{n +1}, мы получим формулу (2.6).

Приведем достаточные условия сходимости метода Ньютона.

Теорема 2.3. Пусть на отрезке выполняются условия:

1) функция и ее производные и непрерывны;

2) производные и отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки;

3) (функция меняет знак на отрезке).

Тогда существует отрезок , содержащий искомый корень уравнения , на котором итерационная последовательность схо­дит­­ся. Если в качестве нулевого приближения выбрать ту граничную точку , в которой знак функции совпадает со знаком второй производной, т.е. , то итерационная последовательность сходится монотонно (рис.2.8).

Доказательство. Так как непрерывна, меняет знак и монотонна на , то — интервал изоляции корня. Обозначим искомый корень через . Рас­смотрим функцию и найдем ее производную . Итак, непрерывна на , обращается в нуль в точке , так как в этой точке обращается в нуль функция . Следовательно, существует такой отре­зок (), что . Если возьмем ту часть отрезка, где , то , следовательно, функция возрастающая, но тогда последовательность является монотонной.

 

Рис. 2.8. Достаточные условия сходимости метода Ньютона

 

Замечание. Отметим, что метод хорд как раз идет с противоположной стороны, и оба этих метода т.о. могут друг друга дополнять, а возможен и комбинированный метод хорд-касательных.

Пример 2.7. Уточнить до 0,000001 методом Ньютона корень уравнения
sin 5 x + x ² – 1 = 0. За начальное значение принять x ₀ = – 0,7.

Решение. Найдем производную .

В программе Excel введем расчетные формулы:

1) Введем формулы и обозначения в ячейках диапазона A 1: D 3 и скопируем вниз маркером заполнения ячейки с формулами: B 3 — до B 5,
C 2 — до C 5, D 2 — до D 5;

Таблица 2.9

	A	B	C	D
	k	x	f(x)	f'(x)
		–0,7	=SIN(5*B2)+B2^2–1	=5*COS(5*B2)+2*B2
		=B2–C2/D2

 

Результаты расчетов приведены в таблице 2.10. Получено значение корня – 0,726631609 ≈ – 0,726632 с погрешностью 0,000001.

Таблица 2.10

	A	B	C	D	A
	k	x	f(x)	f'(x)
		-0,7	-0,159216772	-6,082283436
		-0,726177138	-0,002664771	-5,865681044	0,026177138
		-0,726631437	-1,00787E-06	-5,861240228	0,000454299
		-0,726631609	-1,45328E-13	-5,861238543	1,71955E-07

 

Создадим функции в программе Excel для решения уравнения из примера 2.7 методом Ньютона:

 

Function f1(ByVal x)

f1 = 5 * Cos(5 * x) + 2 * x

End Function

Function f(ByVal x)

f = Sin(5 * x) + x ^ 2 - 1

End Function

Function Newton(ByVal x0, eps, Kmax)

k = 0

1 x1 = x0 - f(x0) / f1(x0)

absErr = Abs(x1 - x0)

If (absErr < eps) Or (k > Kmax) Then GoTo 5

x0 = x1

k = k + 1

GoTo 1

5 Newton = x1

End Function

 

Введем в произвольную ячейку формулу =Newton(0,2;0,0001;100), получим значение 0,24462.

Решение в программе Mathcad:

 

Найденные корни совпадают с предыдущими результатами.