Метод Ньютона
Строгие формулировки теорем об условиях сходимости метода Ньютона (см., например, [1, 3, 7]) достаточно громоздки, на практике часто ограничиваются следующим рассуждением. Пусть для системы нелинейных уравнений
fk (x 1, x 2, …, xn) = 0, 1 ≤ k ≤ n,
в некоторой ε-окрестности точного решения не равен нулю определитель матрицы частных производных (матрицы Якоби):
Тогда существует начальное приближение
сходится к точному решению. Пример 2.10. Решить методом Ньютона систему нелинейных уравнений из примера 2.7
Решение. Найдем определитель матрицы Якоби:
Очевидно, что в некоторой окрестности точки (0,641; 0,801) определитель матрицы Якоби не равен нулю. Найдем матрицу, обратную к матрице Якоби:
Теперь для данной системы метод Ньютона можно записать в виде итерационных формул:
В таблице 2.13 приведены результаты расчетов по этим формулам с начальным приближением (0,5; 0,5): Таблица 2.13
Третий шаг итераций дает результаты, совпадающие до трех цифр с решением примера 2.8, а пятый и шестой шаги дают значения, совпадающие друг с другом точно. Это говорит о том, что достигнута максимальная точность. Эти результаты объясняются высокой скоростью сходимости метода Ньютона.
|
.
, принадлежащее 
(2.14)
.
