Метод Ньютона

Строгие формулировки теорем об условиях сходимости метода Ньютона (см., например, [1, 3, 7]) достаточно громоздки, на практике часто ограничиваются следующим рассуждением.

Пусть для системы нелинейных уравнений

 

f_k (x ₁, x ₂, …, x_n) = 0, 1 ≤ k ≤ n,

 

в некоторой ε-окрестности точного решения не равен нулю определитель

матрицы частных производных (матрицы Якоби):

 

.

 

Тогда существует начальное приближение , принадлежащее
ε-окрестности точного решения (достаточно близкое к точному решению), что метод Ньютона

 

(2.14)

 

сходится к точному решению.

Пример 2.10. Решить методом Ньютона систему нелинейных уравнений из примера 2.7

 

Решение. Найдем определитель матрицы Якоби:

 

.

 

Очевидно, что в некоторой окрестности точки (0,641; 0,801) определитель матрицы Якоби не равен нулю. Найдем матрицу, обратную к матрице Якоби:

 

 

Теперь для данной системы метод Ньютона можно записать в виде итерационных формул:

 

 

В таблице 2.13 приведены результаты расчетов по этим формулам с начальным приближением (0,5; 0,5):

Таблица 2.13

k	xk	yk
	0,5	0,5
	0,586237906918075	0,836237906918075
	0,642171611104366	0,802083615782865
	0,641713916176861	0,801071121263283
	0,641714370872886	0,801070765209299
	0,641714370872883	0,801070765209218
	0,641714370872883	0,801070765209218

 

Третий шаг итераций дает результаты, совпадающие до трех цифр с решением примера 2.8, а пятый и шестой шаги дают значения, совпадающие друг с другом точно. Это говорит о том, что достигнута максимальная точность. Эти результаты объясняются высокой скоростью сходимости метода Ньютона.